抽象代数的题 英文好再进来看= =。

Question

没太懂这题要干嘛.
p = (x 1 − x 2 )(x 2 − x 3 )(x 1 − x 3 )

Answer 1

就是说p是一个对称多项式
对称多项式的定义是：
对于1~n的一个置换（就是你所说的permutation）σ
始终有：f(x1,x2,……,xn)=f(xσ(1),xσ(2),……,xσ(n))
比如一开始举的例子：(x1-x2)²+(x3-x4)²
无论怎样置换都是同一个多项式

追问

所以。。 如果是p = (x 1 − x 2 )(x 2 − x 3 )(x 1 − x 3 )的话
要怎么写？

追答

我看错题了
这里是指找到这样的1~n的置换(permutation)σ
使得：f(x1,x2,……,xn)=f(xσ(1),xσ(2),……,xσ(n))
上面列出的置换都满足使p不变，但1~4的其他的一些置换可能会使p变化。
对称多项式是指对于任意一个置换都成立，这里其实p不是对称多项式。
然后这些使p不变的置换是可以构成一个置换群的，这是最后提到的。

p=(x1-x2)(x2-x3)(x1-x3)
1~3的置换有6种：不变，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)
不变肯定满足题意
(12)就使得p变成(x2-x1)(x1-x3)(x2-x3)，因此变成了-p，不满足题意
(13)就使得p变成(x3-x2)(x2-x1)(x3-x1)，因此变成了-p，不满足题意
这样一直尝试下去，符合题意的置换就是所需的。

追问

啊 我看一下你补充的那部分先。

追答

p=(x1-x2)(x2-x3)(x1-x3)
1~3的置换有6种：不变，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)
不变肯定满足题意
(12)就使得p变成(x2-x1)(x1-x3)(x2-x3)，因此变成了-p，不满足题意
(13)就使得p变成(x3-x2)(x2-x1)(x3-x1)，因此变成了-p，不满足题意
这样一直尝试下去，符合题意的置换就是所需的。
貌似答案应该是 不变，(123)，(132)

Answer 2

不知道是不是你要的

追问

哈？