我把二楼的写详细点。
设f(x)=ln(1+x) (x>0)
取区间【1，1+x】,显然f(x)在【1，1+x】上连续，在（1，1+x）上可导。中间点可选θx,(0<θ<1).
由拉格朗日中值定理得：
f(1+x)-f(1)=f '(θx)(1+x-1)
即：ln(1+x)=x/(1+θx)
又：x/(1+x)＜x/(1+θx)<x
即得证：x/(1+x)<ln(1+x)<x
参考资料：高等数学。。。
则 f '(x) = 1/(1+x) - 1 < 0 (∵x>0)
所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数，于是 f(x) < f(0) = 0 即 ln(1+x) < x
g(x) = x/(1+x) - ln(1+x)
则 g ' (x) = 1/(1+x)^2 - 1/(1+x) = - x /(1+x)^2 < 0
所以 g(x)在(0,+∞)上是减函数，于是 g(x) < g(0) = 0 即 x/(1+x) < ln(1+x)
综上所述，结论成立本回答被提问者采纳
令f(x)=x/(1+x)-ln(1+x) (x>0)
则f'(x)=-x/(1+x^2)<0 ,所以f(x)在x>0时是减函数，所以f(x)<f(0)=0,即f(x)<0,所以x/(1+x)-ln(1+x)<0
即x/(1+x)<ln(1+x)
同理令g(x)=ln(1+x)-x (x>0)
则g'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)<0,所以g(x)在x>0时是减函数，所以g(x)<g(0)=0,即g(x)<0,所以ln(1+x)-x<0
即ln(1+x)<x
综上所述原不等式成立 ，即x/(1+x)<ln(1+x)<x
ln(1+x)=ln(1+x)-ln1=f'(θx)*x=x/(1+θx) ,(0<θ<1) ...拉格朗日中值定理
而x/(1+x)＜x/(1+θx)<x(x>0)
∴不等式成立。
证明不等式x\/(1+x)<ln(1+x)<x.(x>0)
设f(x)=ln(1+x) (x>0)取区间【1，1+x】,显然f(x)在【1，1+x】上连续，在（1，1+x）上可导。中间点可选θx,(0<θ<1).由拉格朗日中值定理得：f(1+x)-f(1)=f '(θx)(1+x-1)即：ln(1+x)=x\/(1+θx)又：x\/(1+x)＜x\/(1+θx)<x 即得证：x\/(1+x)<ln...
求解高等数学题目;证明不等式X\/(1+X)<Ln(1+X)<X(X>0)
证明：构造函数f(x)=ln(1+x)-x 则 f '(x) = 1\/(1+x) - 1 0 (∵x>0)所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是 f(x) < f(0) = 0 即 ln(1+x) < x 构造函数g(x) = x\/(1+x) - ln(1+x)则 g ' (x) = 1\/(1+x)^2 - 1\/(1+x) = - x \/(1+x)^2 <...
如何证明不等式x\/1+x<ln(1+x)<x, x>0
先看右边：两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）ln(1+x)\/x=(1+x)\/e^x=(1+x)\/(1+x+x^2\/2+x^3\/6+...)<1 所以ln(1+x)<x,在看左边：在x=0时x\/(1+x)=ln(1+x)=0;当x>0时 对x\/(1+x)和ln(1+x)分别求导...
证明不等式x\/(1+x)<In(1+x)<x,x>0
ln(1+x)\/x=(1+x)\/e^x=(1+x)\/(1+x+x^2\/2+x^3\/6+...)<1 则ln(1+x)<x, 在x=0时x\/(1+x)=ln(1+x)=0; 当x>0时 ，[1\/(1+x)]'\/[ln(1+x)]'=1\/[(1+x)^2]\/[1\/(1+x)]=1\/(1+x)<1 则在x>0时，x\/(1+x)的增速小于ln(1+x)，在x=0相等 ...
如何用中值定理证明x\/(1+x)<ln(1+x)<x,x>0?
不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即 1\/(1+x)<ln(1+x)\/x<1;又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式 即存在c∈(1,1+x),使得 ln(1+x)\/x=【ln(1+x)-ln1】\/x=1\/c;因为c∈(1,1+x)；所以1\/(1+x)<1\/c<1得证。
证明不等式x\/(1+x)<In(1+x)<x,x>0
ln(1+x)\/x=(1+x)\/e^x=(1+x)\/(1+x+x^2\/2+x^3\/6+.)
证明当x>0时,不等式 x\/(1+x)<ln(1+x)<x成立
设f(x)=ln(1+x)则f'(x)=1\/(1+x)在[0，x]上应用拉格朗日中值定理 存在ξ∈(0，x)使得 ln(1+x)-ln(1+0)=f'(ξ)(x-0)即 ln(1+x)=f'(ξ)·x 由于0＜ξ＜x 所以1\/(1+x)＜f'(ξ)＜1\/x
数学题,在线等?证明不等式x \/(1+x )<I n (1+x )<x
我只做一边，另外一边是一样的做法 你的条件应该是x>0吧，令f(x)=ln(1+x)-x;f'(x) = 1\/(1+x)-1=-x\/1+x<0;所以f(x) 在{x|x>0}内单调递减，所以f(x)<f(0)=ln(x+0)-0=0;即ln(1+x)-x<0 则I n (1+x )<x ...
如何证明不等式 ln(1+x)>x\/(1+x)?(x>0)
设f(x)=ln(1+x)-x\/(1+x)f′(x)=1\/(1+x)-1\/(1+x)²=[1\/(1+x)][1-1\/(1+x)]＞0 f(x)在[0,＋∞)单调增加，所以当x>0时，f(x)＞f(0)=0,即ln(1+x)>x\/(1+x)
2:证明不等式x\/(1+x)<以e为底的(1+x)的对数函数<x,其中x>0._百度知 ...
设f(x)=ln(1+x)-x,则f′(x)=1\/(1+x)-1=-x\/(1+x),所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以f(x)<f(0)=0,所以ln(1+x)<x;设g(x)=ln(1+x)-x\/(1+x),则g′(x)=1\/(1+x)-1\/(1+x)^2=x\/(1+x)^2,所以g(x)在(0,+∞)是增函数,所以g(x)>g(0)=0,所以ln(...
