线性代数中向量的问题

Question

请问两个非零向量相乘所得的矩阵一定不为0吗 能否证明一下 谢谢

Answer 1

首先，在线性代数里，除非两个向量都是只含一个分量的向量，否则这两个向量是无法相乘的。以下分两种理解来解答题主的问题：
1.两个向量都只含一个分量的情形。这时由于是两个非零向量，所以向量a的分量与向量b的分量都不是零。于是按向量乘法规则，ab是一个矩阵，其分量等于a的分量与b的分量的乘积。由于二分量都不是零，故它们的乘积也不是零，即ab作为矩阵的分量不是零，当然ab不是零矩阵。
2.假定题主的问题是“一个非零行向量a与另一个非零行向量b的转置的乘积一定是非零的吗？”。
此时的答案是否定的。例如，取a＝(1, -1)，b＝(1, 1)，则有ab^T＝(1, -1) (1, 1)^T＝(0).
3.假定题主的问题是“一个非零列向量a与一个非零列向量b的转置的乘积一定是非零的吗？”。
此时的答案一定是非零的。道理很简单：若a、b都是n维非零列向量，则ab^T是一个n×n矩阵，这个矩阵的每个元素是a的某个分量与b的某个分量相乘的结果，由于a、b都不是零向量，就导致矩阵的某个元素不是零（例如，若a的第i个分量不是0、b的第j个分量不是0，则矩阵ab^T的第i行第j列元素必不是0）。

Answer 2

是的，向量相乘想得到矩阵，前提是列向量乘以行向量即，设αβ为n维列向量，则aβT=A(nxn)这里βT表示β转置，也即列向量乘以一个行向量，可以张开成一个A，n阶矩阵。现在予以证明，假设α=(a,b),β=(c,d)，αβT=0,那么，必有ac，ad，或者bc,db≠0，否则α，β必有一个为0向量。或者说，a与b之间，必有一个不为0，c,d之间也必有一个不为0，则ac,ad,bc,bd，四项必有一个不为0，也即A必不为0矩阵。推广至三阶高阶道理是一样的。

Answer 3

不是的呀。据你的字面意义，我举反例如下：
如
111, 112
是两个线性无关的向量组，每个向量组只有一个向量；
左作列向量，右作行向量相乘，得到矩阵
1 1 2
1 1 2
1 1 2
这个矩阵的行列式为零，各向量是线性相关的。

或者你说的不是这个意思？请再补充说明一下。

追问

你好 我所说的是矩阵不为0 不是行列式不为0