爆难不等式

Question

a，b，c＞0，且a+b+c=1，求证36/(a^2b+b^2c+c^2a)+1/abc≥343
f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y属于R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1
且f（3）=4
若关于x的不等式f（|x|x+a^2x+a）＜f（f（4） x）的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围

Answer 1

这个补充问题其实也不难。
f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)-1+[f(1)+f(1)-1]=3f(1)-2=4 得f(1)=2
f(1)=f(1)+f(0)-1 得f(0)=1
f(x+a)=f(x)+f(a)-1=f(x)+f(a)-f(0)
f(x+a)-f(x)=f(0+a)-f(0)
根据导数的定义则有
lim(a→0)(f(x+a)-f(x))/a = lim(a→0)(f(0+a)-f(0))/a
也就是说f '(x) = f '(0) ，这意味着f(x)是一条直线，否则其导数必然变化，而不是恒为某一点的导数。
有因为
f(0)=1 f(1)=2
可以很轻易的求得 函数表达式为 f(x)=x+1 这是个单调递增的函数
那么就有 f(|x|x+a^2x+a)=|x|x+a^2x+a+1 f(f(4)x)=f(5x)=5x+1
原不等式就等于 |x|x+a^2x+a+1＜5x+1
即 |x|x+a^2x+a-5x＜0 ①
讨论：
当x≥0时，①式化成 u(x)=x^2+(a^2-5)x+a＜0
u(x)的图像很显然是开口向上的抛物线，要满足最大整数解为2
只需要满足u(2)<0，且u(3)>0即可
代入有
2a^2 + a - 6 < 0 且 3a^2 + a -6 > 0
两个不等式的解集分别为 -2<a<3
a<(-1-√73)/6 或 a>(-1+√73)/6
求交集得到结果 -2<a<(-1-√73)/6 或 (-1+√73)/6<a<3

当x<0时，①式化成 -x^2+(a^2-5)x+a＜0 即 v(x)=x^2-(a^2-5)x-a＞0
显然v(x)是一个开口向上的抛物线，v(x)>0的解集是数轴的两变，因此不可能保证有最大的整数是2，故而该种情况不考虑。

综上 a的范围是 -2<a<(-1-√73)/6 或 (-1+√73)/6<a<3

Answer 2

数学吧讨论过几次，我记得我还发过取等条件。在mathlink上看到的。
这种非对称的不等式让人蛋疼，取等a;b:c=(sin4pi/7)^2:(sin2pi/7)^2:(sinpi/7)^2
解答看这个贴子的12L
http://tieba.baidu.com/p/1188243453
用了软件，纯手工的漂亮证明木有见过。
是的，是can出的不等式，以前放在数吧未解之题里，上次被解了。这个不等式1年前就讨论过...至今没见过什么漂亮解法。我看新浪上也有人答过。也是需要matlab验证，手工似乎无力。毕竟非对称比较BT

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请帮忙做下问题补充。O(∩_∩)O谢谢

Answer 3

算术平均数≤几何平均数，很简单啊。

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请帮忙做下问题补充。O(∩_∩)O谢谢

Answer 4

取f(x)=e^x

各阶导数f'(x)=f"(x)=...=f^(n)(x)=e^x

可得,f'(0)=f"(0)=...=f^(n)(0)=e^0=1

因此,e^x=1+x+1/2!x^2+...+1/n!x^n+1/(n+1)!(e^(θx))x^(n+1)

近似,e^x≈1+x+1/2!x^2+...+1/n!x^n

误差由余项估计,|Rn(x)|=|1/(n+1)!e^(θx)x^(n+1)|<1/(n+1)!(e^|x)||x|^(n+1),0<θ<1

取x=1得e的近似值e≈1+1+1/2!+...+1/n!

此时产生的误差为,|Rn(x)|<e/(n+1)!<3/(n+1)!

n=10可算出e≈2.718282,其误差不超过10^(-6)

注:f^n表示f的n阶导数. 参考资料：高等数学同济大学第6版

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请帮忙做下问题补充。O(∩_∩)O谢谢

Answer 5

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