求∫sqrt(1+sin(x)^2)dx 区间为 0 到 pie/2

Answer 1

最近学了椭圆积分，对这题有用处了。

由于范围是由0到π/2，所以这是完全椭圆积分。
∫(0->π/2) √(1+sin²x)
= ∫(0->π/2) √[1+(1-cos²x)] dx
= ∫(0->π/2) √(2-cos²x) dx
令x = π/2 - y，dx = - dy
当x = 0，y = π/2；当x = π/2，y = 0
原积分= -∫(π/2->0) √[2-(cos(π/2-y))²] dy
= ∫(0->π/2) √(2-sin²y) dy
= ∫(0->π/2) √[2(1-1/2*sin²y)] dy
= √2 * ∫(0->π/2) √(1-1/2*sin²y) dy
= √2 * E(1/√2)
≈1.75
这个是第二类完全椭圆积分，一般来说都是属于超越函数(无法用初等函数表示)
一般计算到这类的积分时候多数都在计算弧长吧？
如果估计没错，你应该是在计算y = cosx在0到π/2之间的弧长。

Answer 2

∫sqrt(1+sin(x)^2)dx这个积分无法表示为初等函数。