数理经济学：集合论——逻辑

Answer 1

写在前面

数学的魅力令人着迷，学习数学的过程是痛并快乐着的，一旦我们能够突破形式化语言理解的痛苦，做到使用数学解决现实问题时，其乐妙不可言。写作本专栏的目的，一方面是整理笔者在数学学习（特别是数理经济学）过程中的一些总结，争取做到将严谨的数学语言“翻译翻译”，另一方面是与广大的数学爱好者做个交流，一同学习和进步。愿所有追求数学之光的同行者，皆能享受喜悦，并学以致用。

集合论——逻辑

集合论可谓是现代数学基础，集合论的学习事实上也是一种形式化语言训练，其能够帮助我们更好理解数学语言的运用规则。有了集合论作为基础，我们能够更容易地阅读并理解数学著作以及学术论文，为日后的学习和研究铺平道路。

1.相关符号

[公式] ——对于所有/任意（此符号后一般接变量）

[公式] ——存在

[公式] ——或

[公式] ——与

[公式] ——非（否定式）

[公式] ——如果……那么……（蕴含式）

[公式] ——当且仅当

2. 基础逻辑

· 形式化语言（Formal Language，即各种严谨的数学表达）的基本特征是其符合一套逻辑规则，在各种形式化语言中，我们常见的元素和规则有：

1）字母表（Alphabet）——这是一个逻辑符号和非逻辑符号的集合，常见元素一般有P、Q、X、Y……等；

2）公式（Formulae）——字母表中符号构成的字符串；

3）语法（Gramma）——组合各种符号以获得一个语句的规则（符号的组合必须符合语法/规则，这一点可以从学术著作中的公理化描述看出）。每个非逻辑符号都可以视作一个语句，即，如果P是一个语句,那么 [公式] 也是一个语句；如果P和Q都是语句，那么 [公式] ,[公式] [公式] ,[公式] 亦都是合法语句。

4）公理（Axioms）

· 命题（Proposition）二字在逻辑学和数学中是常见的字眼。在一个给定的语境中一个命题应当是一个意义清晰的语句，其可为真或为假，但不能既真又假（排中律：不能既对又错）。

· 真值表（Truth Table）是列出命题真假值的表格，令P和Q各为两个命题，我们可以列出几个真值表：

（[公式] 意为“非P”或“P是错的”）

解读：第二行：当命题P为真（T）时，[公式] 为假（F）

第三行：当命题P为假（F）时，[公式] 为真（T）

（[公式] 意为“P为真且Q为真”）

解读：通过真值表我们可以看出，在[公式] 的关系下，只要二者中有一个命题为假， “[公式] ”整个命题便为假。

（[公式] 意为“P为真，或Q为真，或P和Q两个命题都为真”）

解读：“[公式]" 表示或，但其和日常用语思维不同，在数学中，“P或Q”永远都表示“P或Q或二者皆”的意思（若要表示“P或Q或并非二者皆”的意思，必须明确提前声明，例如：张三及格了，或者没及格，不能既及格又不及格，此处“不能既及格又不及格”就是“并非二者皆”的声明。“张三及格了，或者没及格，不能既及格又不及格”这种逻辑语句在数学表达中必须严格声明）。此外，通过真值表我们可以发现，在 [公式] 的关系下，除非所有所有命题都为假，否则 [公式] 恒为真。

（[公式] 意为“如果P为真，则Q为真”）

解读：“[公式]" 在数学中不表因果关系，仅表蕴含关系，这一点和日常用语思维不同，在一般语境中，“若P为真，则Q为真”通常预示着P和Q之间存在因果关系，但在数学中， "[公式]" 被理解为除了“P为真和Q为假”， [公式] 恒为真（见上表）。值得一提的是真值表的第三行和第四行，我们可各罗列一个命题为例，第三行： [公式]；第四行： [公式]，这两个命题皆为真且逻辑上正确，但只是“空洞的”对，并没有实际意义。另外， “[公式]” 还表示“P是Q的充分条件”或“Q是P的必要条件”

（[公式] 意为“P为真当且仅当Q为真”）

“[公式] ”表示当且仅当。举例：命题“ [公式] ”是一个逻辑正确的命题，但没有什么实际含义，也只是“空洞的”对。

注意：一个命题与其逆否命题是等价的。但必须要按真值表中的语法规定，我们设定的一个命题才有可能与其逆否命题等价。

例：“如果1+1=2，那么2<5”和“如果[公式] ，那么 [公式] ”是等价的。

搞明白以上五个真值表的逻辑关系，就可以推出所有可能的组合。

DeMorgan's Laws

解读： “[公式]”意为“P和Q是逻辑等价的”

注：左起第六行和第七行是逻辑恒等的

Lemma 1：对于任意命题P和Q，

·[公式]

·[公式]

`[公式]

解读：第一和第二个逻辑等价命题可已从直觉上理解。需要注意第三个命题[公式] 的左半部分有一重要“一个错误的命题，可以推出任何命题”。

逆命题（Converse）、反命题（Inverse）、逆否命题（Contrapositive）

对于任意命题P和Q：

（i）[公式] 的逆命题是 [公式] ；

（ii）[公式] 的反命题是 [公式] ；

（iii）[公式] 的逆否命题是 [公式] .

注：

·[公式] 和 [公式] 完全等价

· 一个命题的反命题是其逆命题的逆否命题

Theorem 1：

[公式]

证明：根据Lemma 1，可得：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

对于[公式] ，

· 否定式：[公式]

· 逆命题：[公式]

· 反命题：[公式]

· 逆否命题：[公式]

套套逻辑/同义反复（Tautology）、矛盾命题（Contradiction）

· 套套逻辑/同义反复：无论命题的真值为何，其总是正确的（即，任何情况下都不可能错的命题，如：明天可能下雨也可能不下雨）

· 矛盾命题：无论命题的真值为何，其总是错误的（即，任何情况下都不正确）

注：左起第三列为套套逻辑（例如：地球可能比太阳大，也可能比太阳小）；左起第四列为矛盾命题。

另外，逻辑运算中的优先级是：[公式] 。