测度论是什么？

Answer 1

测度理论是实变函数论的基础。

所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。 我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度； 平面上一个闭圆盘 的测度就是它的面积。

对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？ 比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？

一个简单的办法， 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以排像自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。 这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。

现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。 这样我们就说有理数集的测度是0。 用上面这种方法定义的测度也叫外测度。

一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。

比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。 如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/751580.htm

Answer 2

测度论是高等概率论的语言，没有测度论就没有高等概率论，高等概率论又是随机过程、随机金融、高等数理统计的基础。关于集合论初步、点集拓扑初步、集类（集族）、测度扩张理论、测度的完备化、可测函数、Lebesgue积分理论、符号测度、Lebesgue空间、收敛性、随机变量的独立性、概率不等式、条件期望、特征函数、弱大数定律、强大数定律、中心极限定理、无穷可分分布、中心极限问题、L分布、稳定分布、重对数律等，写得比较深入且系统的中文书籍，可参阅最近由科学出版社出版的袁德美、王学军编著的《测度论基础与高等概率论（全2册）》，共第25章，几乎所有的结论在本书内自成体系，不必借助其他参考书。配套书巜测度论基础与高等概率论学习指导（全2册）》主要是所有习题的完整解答及部分习题解答完毕后的评注，这在中文版专业书中尚属首次尝试。据作者自己讲，他们从开始写作到完稿共花六年时间才得以出版，一部不错的参考书或工具书

Answer 3

http://baike.baidu.com/view/751580.html

参考资料：百科