函数f（X）=lg（ax^2+2x+1），函数f（X）的值域为R，求实数a的取值范围

Question

Δ >0我懂，但我不明白的是为什么Δ=0时也行，Δ=0意味着有一个零点使ax^2+2x+1=0，可是对数函数底数要大于0，即ax^2+2x+1>0，那么等于0的那个点取不到了，也就是定义域少了一个数，值域取不到R才对，为什么Δ=0时也行，求高人解释

Answer 1

问的是值域R，这个目标，这就要求y=lgN,N必须要取到所有实数，而不仅仅只是正数就可以了，是全体正数。
因此要求N=ax^2+2x+1的函数值取到所有正数，也就是抛物线的顶点小于等于零才行。
如果仅仅△>0, 是有两个根，=0有一个根，都能满足上述要求。
讲到这儿，△>0有两零点，=0有一个零点，N确实会在x取值的一部分区间上负数，但这个区间不是定义域范围，本题不要求自变量定义域为R，去掉x去负数或零的区间，正好N可以取到所有正数，则值域可以R
其实你没有弄懂△>=0真正含义。
如果本题不要求值域为R，只要求定义域为R，就要求△<0
另外本题需要分类讨论
首先要考虑a=0, N=2X+1, N可以取到所有正实数，所以a=0满足要求，其次才是你问的问题。

Answer 2

因为函数=lg(ax^2+2x+1)的值域为R，所以ax^2+2x+1要能取到所有正数
1当a>0时，Δ ≥0得a≤1，即0<a≤1
2当a=0时，是一次函数 易知成立
3当a<0时不成立
综上述得0≤a≤1
a>0 时，Δ <0是表示函数图象与x轴不相交，即恒大于0。并不能包括所有的正数。Δ ≥0时，函数ax^2+2x+1能包括所有正数（不用考虑它能够取到负数，只要能够取到所有正数就可以）

Answer 3

这道题没有规定x的取值范围的， y=ax^2+2x+1，中y必须要取到所有的正数，要使得y取到所有的正数，则二次函数图像必须开口向上，并且要与x轴有交点，此时a>0,Δ 大于等于0，0<a<=1还有种情况是当a=0时，y=2x+1,y也可以取到所有的正数，所以a=0,也满足条件，

追问

可是y=lgN中，N>是肯定的，还用规定吗，也就是说ax^2+2x+1>0是一定要的，有错？

追答

在这儿N必须要取到所有的正数，你自己画二次函数图象嘛，做二次函数的题，一定要画图来分析

Answer 4

值域为R.则真数要取到所有的正数
若a=0.则真数=2x+1可以取到所有的正数.成立
a不等于0.ax＾2+2x+1是二次函数.要取到所有的正数
则开口向上.且最小值不能大于0.否则0和最小值之间的正数取不到
所以函数和x轴右公共点.判别式大于等于0
所以4-4a＞=0
a＜=1且不等于0
综上.a≤1

Answer 5

Δ=0不行，你说的很对，ax^2+2x+1=0不许有根，我不知道你在哪听的Δ=0行