△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的高,求证:PE+PF=BD

如题所述

这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多。
证法一:
连接AP
则△ABC的面积=AB*PE/2+AC*PF/2=(PE+PF)*AC/2
而△ABC的面积=BD*AC/2
所以:PE+PF=BD
即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二:
作PG⊥BD,垂足为G
因为PG⊥BD,PF⊥AC,BD⊥AC
所以四边形PGDF是矩形
所以GD=PF
因为AB=AC
所以∠EBP=∠C
因为GP//AC
所以∠GPB=∠C
所以∠EBP=∠GPB
又因为BP=BP
所以△BPE≌△PBG(ASA)
所以PE=BG
所以PE+PF=BG+GD=BD
证法三:
提示:
过B作直线PF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证

另外运用面积方法和三角函数也能进行证明

江苏吴云超解答 供参考!

参考资料:http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/6cb3851980bd940034fa4151.html

温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
第1个回答  2011-11-11
连接AP,
三角形ABC可分成三角形ABP和三角形APc。
三角形ABP的面积:AB×EP×1/2
三角形ACP的面积:AC×PF×1/2
∴AB×EP×1/2 + AC×PF×1/2 =AC×BD×1/2
∴1/2AB(PE+PF)=AC×BD×1/2
∴PE+PF=BD
第2个回答  2011-11-11
利用面积法:
连接A,P
S⊿ABC=1/2AC*BD
S⊿ABC=S⊿APB+S⊿APC
=1/2AC*PF+1/2AB*PE
=1/2AC*(PF+PE) [因为AB=AC]
因为S⊿ABC=S⊿ABC
所以 BD=PE+PF

△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的...
而△ABC的面积=BD*AC\/2 所以:PE+PF=BD 即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二:作PG⊥BD,垂足为G 因为PG⊥BD,PF⊥AC,BD⊥AC 所以四边形PGDF是矩形 所以GD=PF 因为AB=AC 所以∠EBP=∠C 因为GP\/\/AC 所以∠GPB=∠C 所以∠EBP=∠GPB 又因为BP=BP...

...AB=AC,P是BC上任一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,求证:PE+PF=...
又因为PM∥DC,所以∠C=∠MPB,而∠C=∠ABC,所以∠ABC=∠MPB,所以在△MPB和△EBP中:∠ABC=∠MPB,∠EPB=∠DBC,BP=BP,所以△MPB≌△EBP,所以MB=PE,所以BD=PE+PF

...P是BC边上任意点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD是AC比上的高,试探究PE+PF...
解:BD=PE+PF。理由如下 连接AP。∵S△ABC=S△ABP+S△ACP ∴1\/2AC·BD=1\/2AB·PE+1\/2AC·PF ∵AB=AC ∴BD=PE+PF

如图,已知三角形abc中,ab=ac,p是bc上一点,pe垂直ab于点e,pf垂直ac于点...
证明:连接AP ∵PE⊥AB ∴S△ABP=AB×PE\/2 ∵PF⊥AC,AB=AC ∴S△ACP=AC×PF\/2=AB×PF\/2 ∵CG⊥AB ∴S△ABC=AB×CG\/2 ∵S△ABP+ S△ACP=S△ABC ∴AB×PE\/2+ AB×PF\/2=AB×CG\/2 ∴PE+PF=CG 数学辅导团解答了你的提问,理解请及时采纳为最佳答案。

如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,PF⊥AB于点F,PE⊥AC于点E...
解:连接AP 因为PE垂直AC于E 所以S三角形ACP=1\/2AC*PE 因为PF垂直AB于F 所以S三角形ABP=1\/2AB*PF 因为AB=AC 所以S三角形ABP+S三角形ACP=1\/2AC*(PE+PF)因为S三角形ABC=S三角形ABP+S三角形ACP 所以S三角形ABC=1\/2AC*(PE+PF)因为BD垂直AC于D 所以S三角形ABC=1\/2AC*BD 所以BD=P...

...上一点pe⊥ab于e,pf⊥ac于f,bm⊥ac,求证bm=pe+pf
证明:过点P作PH⊥BM于H ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵BM⊥AC,PF⊥AC,PH⊥BM ∴矩形PHMF ∴HM=PF,HM∥AC ∴∠BPH=∠C ∴∠B=∠BPH ∵PE⊥AB ∴∠BEP=∠BHP=90 ∵BP=BP ∴△BEP≌△PHB (AAS)∴BH=PE ∵BM=BH+HM ∴BM=PE+PF 数学辅导团解答了你的提问,理解请及时...

...△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为...
证明:作CD\/\/AB,交EP的延长线于D 则∠B=∠PCD ∵PE⊥AB,CH⊥AB ∴PE\/\/CH ∴四边形CDEH是平行四边形 ∴CH=DE,∠D=∠CHE=90° ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠PCD=∠ACB ∵PF⊥AC ∴∠PFC=∠D=90 ∴PF=PD(角平分线上的点到角两边距离相等)∵PE+PD=DE ∴PE+PF=DE=CH ...

△ABC中,AB=AC,点P是BC上任一点,过点P作BC的垂线分别交AB,AC或延长线...
过A作BC的垂线交BC于G 所以PE+PF =AG*BP\/BG+AG*CP\/CG 又因为AB=AC,所以BG=CG,所以上式=AG*BP\/BG+AG*CP\/BG =AG\/BG*(BP+CP)=AG\/BG*BC AG、BG、BC均为定值,所以PE+PF为定值。

如图,在三角形ABC中,AB=AC,P为BC上的一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于点...
又显然有DP‖CG,则CG\/PD=CB\/PB,即两边减1,有(CG-PD)\/PD=PC\/PB 由两式得PE\/PD=(CG-PD)\/PD 则有PE+PD=CG 连结AP,分为三角形ABP和三角形ACP S(ABC)=S(ABP)+S(ACP)=(1\/2)AB*PF+(1\/2)AC*PE =(1\/2)AB*(PF*PE)法2因为S(ABC)=(1\/2)AB*CG 所以PF+PE=CG 即为腰...

在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上任一点,过P点作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足...
如图:延长EP至G,使PG=PF,连接GC ∵∠FPC+∠FCP=90° ∠EPB+∠EBP=90° ∠FCP=∠EBP ∴∠FPC=∠EPB ∴∠CPG=∠FPC ∵PF=PG PC=PC ∴三角形FPC≌三角形GPC ∠GCP=∠FCP ∠CGP=90° ∴CG‖DE ∵PE⊥AB CD⊥AB ∴四边形CGDE是平行四边形 EG=CD ∵PG=PE ∴PE+PF=CD ...

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