高数2不定积分的问题

Question

题目是这样的！
｛1/[x^2*(根号1＋x^2)]*dx 这题是用倒代换做的……设t=1/x（为什么 这么设呢？）变成了
＝｛－1/t^2*dt(这dt又是怎么出来的？）/1/t^2*[根号1＋1/t^2]
＝－｛tdt/根号x^2+1,这里面t不是约掉了吗？怎么还有？！之后变成
＝－｛（x^2+1)^-1/2*d(t^2+1)之后又变成
＝－1/2×2（t^2+1)^1/2+C再变成
＝-(根号1/x^2+1)+C
这一步步是怎么变成这样的，而且这和求导有关系吗？烦请大哥们能一步步详细讲讲，我不胜感激啊！
大哥请问在不定积分中，那种求积分方式比较简单呀，我初学想从简单的入手谢谢！

哦，不是当 -1/t^2和分母的1/t^2约掉，后式子不是应该变为－｛dt/根号（1＋t^2)/t^2后，它是怎么一下变为－｛ t/根号(1+t^2) 的啊！？那个被除的t^2到那去了，而分子上这dt是怎么又变成t的呢？？还有就是d(t^2+1)=2dt这公式我书上从没见过，是否还有其它也和这一样的公式呢！？因为这是关键地方了，希望大哥能赐教呀！

.....大哥小弟有几年没碰数学了三角函数都忘了，你能在这补一下三角函数的代换公式吗？我不胜感激，到时再加分谢谢了！

Answer 1

如果分母的次数高于分子，一般就要用到倒代换

t=1/x,那么dx=d(1/t),x对t微分，所以d(1/t)=(-1/t^2)dt

然后-1/t^2和分母的1/t^2约掉，

原式变为1/根号(1+1/t^2)=1/根号[(1+t^2)/t^2]=t/根号(1+t^2)

你的tdt/根号x^2+1,是不是写错了，x应该为t吧？

然后，因为式子已经变为∫t/根号(1+t^2)dt
注意到d(t^2+1)=2dt,利用这个式子，上式变为
=∫d(t^2+1)/2根号(1+t^2)
设t^2+1=u
上式=∫du/2根号u
=根号u+C
=根号(t^2+1)+C
最后，把t=1/x代入就行了

其实真没有什么简单的方法，一般就是代换成三角函数，倒代换之类
多做做题，练习一下吧
三角函数公式我也记不清了，你在知道上搜下能搜出一堆来