若函数f（x)在[0,1]上可导，且f(0）=0，f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.
使[f'(x1)]+{f'(x2)]=2
上面的是错的，是使[1/f'(x1)]+{1/f'(x2)]=2
即函数f（x)在[0,1]上存在最大值及最小值
由f(0）=0，f(1)=1，不妨设最大值为f(1)=1，最小值为f(0）=0
则由介值定理知存在实数a∈[0,1]，使得f(a)=1/2(由于1/2在[0,1]之间)
由题意可知f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续，在(a,1)上可导
由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,a],x2∈[a,1],使得f'(x1)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=1/2a
f'(x2)=[f(1)-f(a)]/(1-a)=1/2(1-a)
两式取倒数和得
[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2a+2(1-a)=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2
至于[f'(x1)]+[f'(x2)]=2也是成立的
∵f（x)在[0,1/2]上连续，在在(0,1/2)上可导及f（x)在[1/2,1]上连续及f（x)在(1/2,1)上可导
∴由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,1/2],x2∈[1/2,1],使得f'(x1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=2f(1/2)
f'(x2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2)=2[1-f(1/2)]
两式相加得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2[f(1/2)+1-f(1/2)]=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2，使得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2
若函数f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:在[0,1]上至少存在两...
即函数f（x)在[0,1]上存在最大值及最小值 由f(0）=0，f(1)=1，不妨设最大值为f(1)=1，最小值为f(0）=0 则由介值定理知存在实数a∈[0,1]，使得f(a)=1\/2(由于1\/2在[0,1]之间)由题意可知f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续，在(a,1)上可...
若f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1证明在(0,1)内存在ξ...
由介值定理 f（x）在[0,1]上 则存在 f（c1）=1\/2 ①，f（c2）=1\/6② 不妨设 0<ε1<c2<ε2<c1<ε3<1 由拉格朗日中值定理有：f(c2)-f(0)=f’(ε1) [c2-0];③ f(c1)-f(c2)=f’(ε2) [c1-c2];④ f(1)-f(c1)=f’(ε3) [1-c1];⑤ 将①②③④⑤ 带入1\/...
若函数f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1.k1,k2...kn为n个正数,证明...
记a0=0. 由f(x)的连续性,和介值定理知在(0,1)内存在一点a1,使得f(a1)=k1\/(k1+k2+...+kn),在(a1,1)内存在一点a2,使得f(a2)=(k1+k2)\/(k1+k2+...+kn),...,在(a(n-2), 1)内存在a(n-1),使得 f(a(n-1))=(k1+k2+...+k(n-1))\/(k1+k2+...+kn), 再记an=...
...设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(0)=f(1)=0.证明:至少...
你先假设里面有n个零点（n>=2）,任取两个相邻的零点x，y，条件满足用拉格朗日中值定理得，f'(ε)=f(x)-f(y)\/(x-y),在这里取x趋向于ε，有f'(ε)=f(ε)\/（ε-y），任意两个零点就有一个
...函数f(x)在(0,1)上连续且可导,且f(0)=0,f(1)=1, 存在两个不同点m...
1. 如果 f(x)=x 在(0,1)上都成立。 任意取两个不同点分别为m,n即可。2.假设存在 0<x0<1, 使得 f(x0)不等于 x0, 不妨设 f(x0) >x0, (如果 f(x0) <x0, 证法类似）设 A=（0，0）， B=（1，1), C=(x0, f(x0)),则 直线AC 的斜率k1 > 1, 直线CB 的斜率k2 ...
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明:
解：（I）设函数g(x)=f(x)+x，则g(0)=f(0)+0=0，g(1)=f(1)+1=2。根据介值定理，（定理大意：如果函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a)=M>f(b)=m，则存在c∈(a,b)使得f(c)∈(m,M)。）则在（0,1）存在g(ζ)=f(ζ)+1=2，所以，f(ζ)=1-ζ。（II）由（I）存在...
设f(x)在[0,1]上可导且f(0)=0f(1)=1且f(x)不恒等于x, 求证:存在一个数...
由f(x)不恒等于x, 存在c∈(0,1), 使f(c) ≠ c.若f(c) < c, 在[c,1]上由Lagrange中值定理得:存在ξ∈(c,1)使f'(ξ) = (f(1)-f(c))\/(1-c) = (1-f(c))\/(1-c) > (1-c)\/(1-c) = 1.若f(c) > c, 在[0,c]上由Lagrange中值定理得:存在ξ∈(0,c)使f...
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1\/2...
简单分析一下，详情如图所示
...设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(0)=f(1)=0.证明:至少...
构造F（x）=f（x）\/e^(kx)对F（x）在 [0，1]上用罗尔定理即可。
设函数f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=0,求证:在(0,1)内至少存在一点ξ...
证明：令F（x）=xf（x），由题意F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且F（0）=0，F（1）=0，由罗尔定理可知在（0，1）内至少存在一点ξ，使F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，所以，在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′(ξ)＝?f(ξ)ξ．
