求不定积分...

Question

(e^x)*(sinx)^2dx
arctanx/(1+x)^3
根号x/根号(1-x)

Answer 1

☆⌒_⌒☆很高兴回答您的问题。

1、先求∫e^x*cos2x dx
∫e^x*cos2x dx = (1/2)∫e^x d(sin2x)
= (1/2)(e^x)(sin2x) - (1/2)∫e^x*sin2x dx
= (1/2)(e^x)(sin2x) - (1/2)(-1/2)∫e^x d(cos2x)
= (1/2)(e^x)(sin2x) + (1/4)(e^x)(cos2x) - (1/4)∫e^x*cos2x dx，将最后那个积分移到左边得
(1+1/4)∫e^x*cos2x dx = (1/4)(e^x)(2sin2x+cos2x)
∫e^x*cos2x dx = (1/5)(e^x)(2sin2x+cos2x) + C

∫e^x*sin²x dx
= ∫e^x*(1/2)(1-cos2x) dx
= (1/2)∫e^x dx - (1/2)∫e^x*cos2x dx，代入上面的结果
= (1/2)(e^x) - (1/2)(1/5)(e^x)(2sin2x+cos2x) + C''
= (1/10)(e^x)(5-2sin2x-cos2x) + C''

2、
∫arctanx/(1+x)³ dx
= arctanx d{-1/[2(x+1)²]}，分部积分法，注意∫dx/(1+x)³ = -1/[2(x+1)²] + C
= -arctanx/[2(x+1)²] + (1/2)∫dx/(x+1)²(x²+1)，用部分分式的方法分拆为三项分式
= -arctanx/[2(x+1)²] + (1/2)∫{-x/[2(x²+1)] + 1/[2(x+1)] + 1/[2(x+1)²]} dx
= -arctanx/[2(x+1)²] - (1/4)∫x/(x²+1) dx + (1/4)∫[1/(x+1) + 1/(x+1)²] dx
= -arctanx/[2(x+1)²] - (1/4)(1/2)∫d(x²+1)/(x²+1) + (1/4)∫[1/(x+1) + 1/(x+1)²] d(x+1)
= -arctanx/[2(x+1)²] - (1/8)ln|x²+1| + (1/4)[ln|x+1| - 1/(x+1)] + C
= -arctanx/[2(x+1)²] - (1/8)ln|x²+1| + (1/4)ln|x+1| - 1/[4(x+1)] + C

3、这题比较简单，不用换元法也可以，看本小姐的答法吧~~
∫√x/√(1-x) dx
= ∫√x/(1-x) * √x/√x dx
=∫ x/[√x√(1-x)] dx
= (1/2)∫2x/√(x-x²) dx
= (1/2)∫ [1-(1-2x)]/√(x-x²) dx
= ∫dx/[2√x√(1-x)] dx - (1/2)∫(1-2x)/√(x-x²) dx
= ∫d(√x)/√[1-(√x)²] - (1/2)∫d(x-x²)/√(x-x²)
= arcsin(√x) - (1/2)*(x-x²)^(-1/2+1) / (-1/2+1) + C
= arcsin(√x) - (1/2)*(2)(x-x²)^(1/2) + C
= arcsin(√x) - √(x-x²) + C

Answer 2

三个计算量都很大的积分，也很难在这里写全过程，我讲一下思路吧。
第一个先把正弦降幂，然后拆为两个积分，一个是指数函数很简单，另一个是指数与余弦的乘积，这个要麻烦一点，用分部积分，用两次后将其中一部分移至等式左边与左边合并后就可以做出来，高数书上肯定有类似例题的。
结果为：1/5*(sin(x)-2*cos(x))*exp(x)*sin(x)+2/5*exp(x)

第二个先将分母移至微分之后，然后用分部积分就可以化为有理函数的积分，然后按有理函数积分的方法来做就行了。
结果为：-1/2*1/(1+x)^2*arctan(x)-1/8*ln(1+x^2)-1/(4*(1+x))+1/4*ln(1+x)

第三个令：根号x/根号(1-x)=t换元后就可将根号去掉，化为有理函数积分
结果为：1/2*(-x/(-1+x))^(1/2)*(-1+x)*(2*(x^2-x)^(1/2)+ln(-1/2+x+(x^2-x)^(1/2)))/((-1+x)*x)^(1/2)

三个结果肯定是正确的，我没自己算，是用数学软件算的。

追问

是什么数学软件？

追答

现在常见的数学软件有三种Matlab，Maple，Mathematic，可以计算极限，导数，积分，矩阵，解方程，微分方程等等。我给你做题用的是Maple，另外楼下那位女士答得很好，而且也比我辛苦，选她的答案吧。

追问

好的，谢谢你