已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，...

Question

已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
当a=1时，f′(x)=
x2-x-2
x
=
(x-2)(x+1)
x
…（2分）
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为 f（2）=-2ln2…（7分）
（Ⅱ）∵f′（x）=x-
2a
x
+（a-2）=
x2+(a-2)x-2a
x
=
(x-2)(x+a)
x
∴（1）当-2＜a≤0时，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）为增函数，

x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）为减函数，

x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
（2）当a=2时，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
（3））当a＜-2时，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）为增函数，

x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）为减函数，

x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．