高分求解一道线性代数题

Question

这是一道线性代数题。各位高手请在10小时内做出。谢谢。

找出所有2×2矩阵，K，使得K^P=0, P可以是任意整数。证明你找到了所有的满足此条件的矩阵（或者说除了你找到的矩阵其他的矩阵均不满足此条件）。P的值有没有什么特别的地方？3×3的矩阵呢？n×n的矩阵呢？

谢谢各位
K不能是0。

Answer 1

K的特征值只能是0，因此D=【0 1；
0 0】或D=0；
所有的K是这种形式的：K=QDQ^(--1)或K=0。
一般情况下，也是考虑Jordan块就可以了。一个n*n的Jordan阵D，其对角块记为D1，D2，...，Dk，Di是对角元为0，次对角元为1，其余是0的Jordan块，最大阶数是P，则必有Di^P=0，1<=i<=k，因此D^P=0。与上面类似，所有的解可写为
K=QDQ^(--1)的形式。

追问

抱歉，K不是0。。。做出来我我追加100分说到做到

追答

2阶情况下，K=QDQ^(--1)，D=【0 1；0 0】。这时P=2就可以。
一般情况下，已经说了特征值只能是0，因此必存在非奇异阵Q，使得Q^(--1)KQ=D为Jordan阵，
D的对角块为D1，D2，...，Dk，其中Di是对角元为0，次对角元为1，其余元素是0的Jordan块，阶数分别为p1，p2，...pk，阶数的最大值记为P，则易知Di^P=0，1<=i<=k。自己可以算一下，最大阶数的那个Jordan块必有其P--1此幂非零。
于是K^P=QD^PQ^(--1)=Q*0*Q^(--1)=0。这就是所有的解。P是Jordan块的最大阶数。

Answer 2

从Jordan标准型的角度说 mscheng19 说的完全正确。当然这种矩阵其实是有名字的，叫幂零矩阵(nilpotent matrices). 定义就是存在P使得K^P=0. 从标准型看出如果一个矩阵是幂零的，总是可以取不超过n的一个数作为P，其中n是矩阵的阶。可以参考维基百科“幂零矩阵”词条。

Answer 3

P值有没有什么特别的地方？？P又是非零任意整数？？题目没错？