如图，两矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为 ，M、N分别为DE与DB的中

Question

如图，两矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为 ，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1.(1) 求证：MN丄平面ABCD(2) 求线段AB的长；(3) 求二面角A—DE—B的平面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD 平面ABEF＝AB EB⊥AB ∴EB⊥平面ABCD   又MN∥EB      ∴MN⊥面ABCD．                                             （3分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角   ∴∠EDB＝30 o 又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90 o    ∴DE＝ 连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角 ∴∠DEA＝45 o （5分） 在Rt△DAE中，∠DAE＝90 o    ∴AE＝DE    cos∠DEA＝2 在Rt△ABE中， ．                 （7分） （Ⅲ）方法一：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH ∵AD⊥平面ABEF    BO 面ABEF ∴BO⊥平面ADE   ∴OH为BH在平面ADE内的射影 ∴BH⊥DE  即∠BHO为所求二面角的平面角 （9分） 在Rt△ABE中，BO＝ 在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝ ∴sin∠BHO＝

略