高数不定积分，换元法那一块的题，感觉怎么弄都不对

Question

高数不定积分，换元法那一块的题，感觉怎么弄都不对标准答案是arcsin x+[√(1-x²)-1]/x+C，求过程

Answer 1

令x=sint，-π/2≤t≤π/2。
积分＝∫costdt/(1+cost)＝∫[1-1/(1+cost)]dt＝∫[1-1/2×sec²(t/2)]dt＝t-tan(t/2)+C=t-sint/(1+cost)+C=arcsinx - x/(1+√(1-x²))+C。

x/(1+√(1-x²))＝-(1-√(1-x²))/x，两个结果是一样的。
用x/(1+√(1-x²))更好一点，x可以在-1与1之间任意取值，而(√(1-x²)-1)/x还要限制x≠0。

Answer 2