插板法公式。

Question

如：小明有9块糖，从今天起，每天至少吃1块。共有多少种不同的吃法？
2^9=512
2是从哪里得出的？

Answer 1

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
===================================================
a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是 c12 2=66
-------------------------------------------------
例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28
==================================================
b 添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
--------------------------------------------------------
例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
-----------------------------------------------------------
例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165
============================================
c 选板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
=============================================
d 分类插板
例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种
=================================
e 二次插板法
例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种

追问

那这个2是怎么算出来的呢？

追答

例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
解析一：首先这道题可以用归纳法来做，10颗糖算起来比较麻烦，所以可以从简单的试一试：
　　1颗糖：1　　　　　　　　　　1种吃法
　　2颗糖：1+1，2 　　　　　　　2种吃法
　　3颗糖：1+1+1，1+2，2+1,3　　4种吃法
　　所以猜测吃n颗糖的方式一共有2^(n-1)；那么吃10颗糖应该就是2^9=512种方式。
这里的2是概率公式
解析二：此题我们也可以转成成用插板法来做，10颗糖可以1天吃完，也可2天吃完，……，也可10天吃完，即变为10颗糖中间有9个空，可以插一道板子，也可插2道板子，……，也可插9道板子，即共有C9^0+C9^1+C9^2+……+C9^9 注意这里的^指的是上标=512
=1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512

Answer 2

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入
若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1）
这n个元素必须互不相异
（2）
所分成的每一组至少分得一个元素
(3)
分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的
小球
放入3个不同的
箱子
，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足
条件（1）（2），适用插板法，c9
2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
===================================================
a
凑元素插板法
（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1
：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是
c12
2=66
-------------------------------------------------
例2：
把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为
把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？
c8
2=28
==================================================
b
添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o表示10个小球，-表示
空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时
若在
第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空
c12
2=66
--------------------------------------------------------
例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个
数字之和
，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9
,且a不为0
1
-1-
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-
-
1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个
空时
，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有
c10
2=45
-----------------------------------------------------------
例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1
-1-
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-
-
-
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11
3=165
============================================
c
选板法
例6：
有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
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o
-
o
-
o
o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是
2^9=
512啦
=============================================
d
分类插板
例7：
小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1：
吃1天或是5天，各一种吃法
一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？
c10
1=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?
c8
2=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6
3=20
所以一共是
2+10+28+20=60
种
=================================
e
二次插板法
例8
：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对
次序
不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是
c7
1×c8
1×c9
1=504种

Answer 3

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入
若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1）
这n个元素必须互不相异
（2）
所分成的每一组至少分得一个元素
(3)
分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足
条件（1）（2），适用插板法，c9
2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
===================================================
a
凑元素插板法
（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1
：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是
c12
2=66
-------------------------------------------------
例2：
把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为
把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？
c8
2=28
==================================================
b
添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o
-
o
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o
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o
-
o
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o
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o
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o
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o
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o
-
o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时
若在
第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空
c12
2=66
--------------------------------------------------------
例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9
,且a不为0
1
-1-
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-
-
1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有
c10
2=45
-----------------------------------------------------------
例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1
-1-
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-
-
-
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11
3=165
============================================
c
选板法
例6：
有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o
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o
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o
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o
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o
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o
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o
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o
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o
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o
o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是
2^9=
512啦
=============================================
d
分类插板
例7：
小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1：
吃1天或是5天，各一种吃法
一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？
c10
1=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?
c8
2=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6
3=20
所以一共是
2+10+28+20=60
种
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e
二次插板法
例8
：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
o
-
三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是
c7
1×c8
1×c9
1=504种

Answer 4

你确定是2-9，我见到10块糖是2-9，你这是9块糖。错的吧

Answer 5

同问，2是怎么来的，不解