三棱锥P－ABC中，PC垂直平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD垂直平面PAB.（1）求证：AB垂直...

Question

三棱锥P－ABC中，PC垂直平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD垂直平面PAB.（1）求证：AB垂直平面PCB；（2）求二面角C－PA－B的大小的余弦.

Answer 1

(1)∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AB;
∵CD⊥平面PAB，∴CD⊥AB.
CD与PC相交于C，∴AB⊥平面PCB。(判定定理)
(2)
设BD=x，AP=2a
AP中点E，因PC=AC，则CE⊥AP
CD⊥平面PAB===>DE⊥AP,DE=PE=AE,==>PD=AD=√2a
又CE⊥AP，∠CED就是二面角C-PA-B大小
CD^2=AC^2-AD^2=4-2a^2
x^2+4-2a^2=x^2+2a^2=BC^2=AB^2
a=1,===>AP=2,AD=CD=√2,DE=1，CE=√3
cos∠CED=DE/CE=√3/3
所以，二面角C-PA-B的余弦值为√3/3
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参考:
取AP的中点E，连结CE、DE。

∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝根号2

∵CD⊥平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。

∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角。

易证AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝根号2
∴易得CD＝2/根号3
∴正弦值为（根号6）/3,则余弦值是:根号(1-6/9)=根号3/3

Answer 2

1、可以证明：AB垂直PC、CD垂直AB，则AB垂直平面PCB
2、去AC中点H，则BH垂直AC，过H作HM垂直PA交PA于点H，则角HMB就是所求二面角的平面角。HM=√2/2，则正弦值=[HM]/[BH]【好像少点条件】

Answer 3

(1) 证： PC垂直ABC，故PC垂直AB，有CD垂直PAB，故CD垂直AB，
亦即AB垂直PCB上两相交直线PC和CD，故AB垂直PCB

Answer 4