来个线性代数高手帮帮忙啊 就2个问题 马上考试了真心求教啊

Question

a=2是4阶矩阵A特征值 则 A-2E的绝对值等于？？ 第二题 第一行1 0 0第二行0 -1 0第三行0 0 1 它是不是初等矩阵？？判断初等矩阵的方法是什么？

Answer 1

1
A-2E的绝对值，应该是行列式吧？
因为a=2是4阶矩阵A特征值
则存在非零向量x，使得
Ax=2x
(A-2E)x=0
即齐次方程有非零解
A-2E奇异
即|A-2E|=0

2
是
单位阵，第二行乘以2，就是这个矩阵了
因此，是初等阵

追问

那第一行1 1第二行0 1 是不是初等矩阵？第一行1 0 0第二行0 1 0第三行5 0 1 是不是初等矩阵呢？为什么？

追答

第一行1 1第二行0 1
是
第一行加到第二行，就是了

第一行1 0 0第二行0 1 0第三行5 0 1
是
第一行，乘以5，加到第三行，就是了

追问

完了 那这个题没对的答案吗？这是选择题的三个选项 最后一个是第一行1 0 0 第二行0 3 0 第三行0 0 1这个是初等矩阵了那就没错误项可以选了？？

追答

对
第一行1 0 0 第二行0 3 0 第三行0 0 1
也是初等阵

题目出错了呗

追问

谢谢您了 最后一个问题 求特征向量的基础解系是不是不只一组？只要求出来的带回去求得都是0就行？例如第一行3 3 -3 第二三行都是0 0 0则基础解系只要符合带回等于0就都可以？

追答

基础解系的组数
=A的维数减去A-λE的秩
=dim(A)-rank(A-λE)

要等于0
但是，要找正交的
比如
(1,-1,0)
(1,1,2)

Answer 2

(1)答案是0
特征多项式定义f(d) = |dE - A|
令f(d) = 0即可解得特征值d
已知d = 2是特征值，因此 |2E - A| = 0，从而，|A - 2E| =(-1)^4 * |2E - A| = (-1)^4 * 0 = 0
(2)是初等矩阵。
原因(初等矩阵的判定)：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵成为初等矩阵
矩阵的初等变换有3类：
a.用一个非零元数乘矩阵的某一行(或列)
b.将矩阵的某一行(或列)的k倍加到另一行(或列)上
c.互换矩阵中两行(或列)的位置

追问

那第一行1 1第二行0 1 是不是初等矩阵？第一行1 0 0第二行0 1 0第三行5 0 1 是不是初等矩阵呢？为什么？