偏导求参数值问题

Answer 1

解：
令z=f(x,y)=g(u,v)，根据一阶偏导数形式不变形可得：
dz=zx'·dx+zy'·dy=zu'·du+zv'·dv
其中：
zx'=∂f/∂x
zy'=∂f/∂y
zu'=∂g/∂u
zv'=∂g/∂v
又因为：
x=uv
y=(u²-v²)/2
∴
dx=vdu+udv
dy=udu-vdv
∴
du=(vdx+udy)/(u²+v²)
dv=(udx-vdy)/(u²+v²)
因此:
zx'·dx+zy'·dy=zu'·du+zv'·dv = zu'·[(vdx+udy)/(u²+v²)]+zv'·[(udx-vdy)/(u²+v²)]
=(zu'v+zv'u)·dx/(u²+v²) +(zu'u-zv'v)·dy/(u²+v²)
即：
zx'=(zu'v+zv'u)/(u²+v²)
zy'=(zu'u-zv'v)/(u²+v²)
根据：zx'²+zy'² = 4
则：
(zu'v+zv'u)²/(u²+v²)² + (zu'u-zv'v)²/(u²+v²)² =4
即：
zu'²v²+zv'²u²+2uvzu'zv'+zu'²u²+zv'²v²-2uvzu'zv'=4(u²+v²)²
zu'²(u²+v²)+zv'²(u²+v²)=4(u²+v²)²
zu'²+zv'²=4(u²+v²)
又因为：
azu'²-bzv'²=u²+v²
对比可知：
a=1/4
b=-1/4