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Question

设函数f(x)=1/3 x^3-ax^2-3a^2+1(a大于0) （1）求函数的单调区间，极大值，极小值

Answer 1

先求导，f'(x)=x^2-2ax
接下来讨论，1、x^2-2ax>0时，即x^2>2ax,
当x>0时，x>2a;
当x<0时，x<2a
所以单调增区间是（2a,+∞）∪（-∞，0）
2、x^2-2ax<0时，即x^2<2ax,
当x>0时，x<2a;
当x<0时，x>2a
所以单调减区间是（0,2a）
当x=0时，函数取极大值，f(0)=-3a^2+1;
当x+2a时，函数取极小值，f(2a)=-4/3a^3-3a^2+1

Answer 2

f(x)=1/3 x³-ax²-3a²+1 (a＞0)
则f′(x)＝x²－2ax
＝x﹙x－2a﹚
∴①当x∈﹙﹣∞，0﹚∪﹙2a，﹢∞﹚时 ，f′(x)＞0
②当x∈﹙0,2a﹚时 ，f′(x)＜0
③当x＝0或2a时，f′(x)＝0
∴f﹙x﹚的单调增区间为﹙﹣∞，0﹚和﹙2a，﹢∞﹚
f﹙x﹚的单调减区间为﹙0,2a﹚
f﹙x﹚的极大值为 f﹙0﹚＝－3a²+1
f﹙x﹚的极小值为 f﹙2a﹚＝－3/4a³－3a²+1

Answer 3

f（x）′=x^2-2ax =x(x-2a)>=0
解得x>2a或x<=0
即单调增区间是(2a,+无穷)或(-无穷,0)
f'(x)<=0,得到0<=x<=2a
即单调减区间是(0,2 a)
∴当x=0，有极大值f(0)=-3a^2+1
当x=2a时，有极小值f(2a)=1/3*8a^3-a*4a^2-3a^2+1=-4/3a^3-3a^2+1

Answer 4

求导得到：f'(x)=x&2-2ax=(x-2a)x(a>0)结合抛物线图像：

x (-无穷,0) 0 (0,2a) 2a (2a,无穷)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 极大值 减 极小值 增

故f(x)单调增区间(-无穷,0)和(2a,无穷)
减区间为 (0,2a)
由增减性知：x=0时，【f(x)】极大=f(0)=-3a^2+1
x=2a时，【f(x)】极小=f(2a)=8/3a^3-4a^3-3a^2+1=-4/3a^3-3a^2+1

Answer 5

求导f'（x）=x^2-2ax=x(x-2a),所以 x=0和x=2a（a>0）是f（x）的极值点，
f'(x)>0即x=>2a或x<=0,f(x)单调递增
0<x<2a,f(x)单调递减
x<0到0<x<2a，f（x）先增后减所以f（x）极大值=f（0）=1-3a^2
同理0<x<2a到x=>2a,f（x）有极小值=f(2a)=1-3a^2-4/3a^3