已知函数f(x)=2cos^2x/2-根号3sinx (1)求函数f(x)的最小正周期和值域 (2)若a为第二...

Question

已知函数f(x)=2cos^2x/2-根号3sinx (1)求函数f(x)的最小正周期和值域 (2)若a为第二象限的角,且f(a-pai/3)=1/3,求cos2a/1-tana的值

Answer 1

（1）f(x)=-根号3sinx+cosx+1
=2sin(x+5π/6)+1
T=2π/1=2π
值域[-1,3]
(2)f(a-π/3)=2sin(a+π/2)+1=2cosa+1=1/3
cosa=-1/3
cos2a=2cos^2a-1=-7/9
tana=-2根号2
cos2a/1-tana=(1-2根号2)/9

Answer 2

(1)f(x)=2cos^2x/2-根号3sinx
=（1-cosx）-√3sinx
=-(√3sinx+cosx)+1
=-2sin(x+π/6)＋1
最小正周期T=2π
值域 [-1,3]

Answer 3

f(x)=2[cos(x/2)]^2 - (√3)sinx=1+cosx-(√3)sinx = cosx-(√3)sinx+1=
=2[(1/2)*(cosx)-(√3/2)*(sinx)]+1=2cos(x+π/3)+1

即：f(x)=2cos(x+π/3)+1

(1) 由周期公式得：最小正周期：T=2π;
-1=2*(-1)+1≤y≤2*1+1=3 即值域为[-1,3]
(2) ∵f(x)=2cos(x+π/3)+1 ∴f(α-π/3)=2cos(α-π/3+π/3)+1=1/3即：2cosα=1/3-1= - 2/3
∴cosα= - 1/3 sinα=(√1-(cosα)^2)=(2√2)/3
cos2α/(1-tana)=[(cosα+sinα)*(cocα-sinα)] / [(cocα-sinα)/cosα]=(cosα+sinα)*(cocα)=
=[- 1/3+(2√2)/3]*(- 1/3)
=(1-2√2) / 9