求高数高手，急求解体过程及答案，谢谢

Answer 1

1、题目估计是|xn|<=M,yn→0,求xnyn的极限
这题并不难，先直观上想，一个有界的数乘以一个无限趋于0的数，应该也是趋于0的，
也就是证xnyn→0
按定义是任意e>0，存在N，n>N时，|xnyn|<e
因为|xn|<M 所以|xnyn|<M|yn| 只要证M|yn|<e即可
所以由yn→0，那么反用定义，任意e1>0，存在N1，n>N1，|yn|<e1，只要Me1<e即可得出结论，这就是设e1=e/M的原因。

这里其实也不必强求要证|xnyn|<e，其实|xnyn|<e和|xnyn|<Me是等价的，都说明了xnyn→0

2、要证xn→a，按定义就是任意e>0，存在N,n>N，|xn-a|<e
这里由已知条件，xn‘的奇数项是趋向于a的，而且xn的偶数项趋向于a
那么存在K1，n>K1时,|x2n-1-a|<e （1）
存在K2，n>K2时,|x2n-a|<e （2）
那么你可以想当n充分大时，n后面的奇数项是满足（1）的，偶数项是满足（2）的
也就是|xn-a|<e
那么就是只要刻画出“n充分大”这个意思，只要N=max{2K1+1,2K2}
这里N不确定的，你也可以给出更大的N=max{2K1+1000,2K2+1000}都可以
只要是刻画出n充分大之后，xn任意趋近于a这个意思就可以了

Answer 2

①这是为了美观才这样写的。我问楼主这样一个问题。本来数列极限的定义是“任给ε>0都存在N>0使得只要n>N就有|x[n]-A|<ε，那么就说x[n]的极限是A”；我如果把它改成“任给ε>0都存在N>0使得只要n>N就有|x[n]-A|<Mε(M是一个固定正数)，那么就说x[n]的极限是A”这样说对吗？其实还是对的，因为你有本事找到一个N使得|x[n]-A|<Mε（这个N是冲着ε这个目标找的，最后算出来却只能小于Mε），必然有本事找到一个能够让结果小于ε的N，我完全可以冲着ε/M这个“目标”找，找到的N肯定能满足|x[n]-A|<M·ε/M=ε。所以你做题最后得到小于Mε的结果也不能算错，这道题如果就设ε1=ε，最后结果会得到那个|x[n]y[n]-0|<Mε。但是总觉得最后算出来不是小于ε不美观，所以编答案的人在中途埋了个“伏笔”，让y[n]的那个N冲着ε/M这个目标去找，最后结果就可以把M约掉，得到美观的ε。楼主如果自己做题也想这样的话，就事先在演草纸上面算，如果算出来是Mε，在卷子上面写的时候就故意在中间某一步改一下“目标”，取个ε/M最后就能约掉。这个不可能一开始就看出来要这样设。

②这个首先要明确目标。不管题目怎么问，只要证明数列极限，目标总是对于给定的ε找一个N使得……只要能找出这个N，就证明出来了。这道题下面整个就在找N。怎么找呢？题目已知条件说的是{x[n]}奇数项趋近于a，偶数项也趋近于a。既然奇数项趋近于a，那么对于奇数项总可以找一个k[1]使得k>k[1]的时候|x[2k-1]-a|<ε（注意奇数项的指标不是n了，而是k，偶数项同理）；对于偶数项总可以找一个k[2]使得k>k[2]的时候|x[2k]-a|<ε。那我目标要找的这个N肯定和k[1]、k[2]有关系。到底有什么关系呢？自然想到只要k比k1、k2都大的时候|x[2k-1]-a|<ε和|x[2k]-a|<ε就都会成立，也就是|x[n]-a|<ε。怎么样比俩k都大呢？只要比它们之中最大的那个都大就可以。所以取K为k[1]、k[2]之中最大的，k>K的时候就都成立了。但是这和我们目标还有一定差距。我们的目标是对整个{x[n]}找N，指标是n而不是k，所以要把K想办法和N对应起来。在奇数项里面n=2k-1，于是k>K就是n>2K-1；在偶数项里面k>K就是n>2k。那我到底N取多少呢？取它们之中最大的2K，n>2K自然也大于2K-1，所以一下子奇数偶数都满足了。解答上就是把上面的思考过程都没写，最后直接取N=2K再验证，我说的是如何找出N=2K的过程。