已知函数f(x)=(x^2+ax+1)e^x,g(x)=2x^3-3x^2+a+2,

Question

当a<0时，记x∈[-1，1]时，f(x)最小值为m，g(x)的最大值为M，若m≥M恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f'(x)=(2x+a+x^2+ax+1)e^x=[x^2+(a+2)x+a+1]e^x=(x+1)(x+a+1)e^x,
a<0,-1<x<-1-a时f'(x)<0,f(x)↓；
x>-1-a时f'(x)>0,f(x)↑。
∴-1-a<=1,即-2<=a<0时m=f(-1-a)=(2+a)e^(-1-a);
a<-2时m=f(1)=(2+a)e.
g'(x)=6x^2-6x=6x(x-1),
0<x<1时g'(x)<0,g(x)↓；
x<0时g'(x)>0,g(x)↑。
∴M=g(0)=a+2,
∴m-M={(2+a)(e-1)<0,a<-2,不合题意;
............{(2+a)[e^(-1-a)-1]>=0,-2<=a<0.
由下面不等式得-1-a>=0,-2<=a<=-1.
综上，-2<=a<=-1

.

Answer 2

f'(x)=[x^2+(a+2)x+a+1]e^x
令f'=0,得x=(a+2)/2
代入得m=(3*a^2+6a+8)
令g'(x)=6x^2-6x=0
得x=0或x=1(都算一下，取大的一定就是最大值)
代入得M=a+2
令M>=m
a+2>=(3a^2+6a+8)/4
3a^2+2a<=0
解得-2/3<=a<=0