sinx的n次方的积分公式

Question

求定积分∫sinx^ndx 0到π的值,我想知道公式
还有∫cosx^ndx 0到π的定积分公式,好像n要分奇数和偶数,我们老师说是可以直接算出来

Answer 1

集体回答如下：

原式

=-∫[(sinx)^(n-1)]d(cosx)

=-[(sinx)^(n-1)]cosx+∫cosxd[(sinx)^(n-1)]

=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫cos²x[(sinx)^(n-2)]dx

=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫(1-sin²x)[(sinx)^(n-2)]dx

=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫[(sinx)^(n-2)]dx-(n-1)∫[(sinx)^n]dx

=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫[(sinx)^(n-2)]dx

=-{[(sinx)^(n-1)]cosx}/n+[(n-1)/n]∫[(sinx)^(n-2)]dx

=[(n-1)/n]I(n-2) -{[(sinx)^(n-1)]cosx}/n

积分的意义：

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

Answer 2

∫sinx^ndx (0→π)
=2 ∫sinx^ndx (0→π/2)
=2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 4/5 · 2/3 · 1 (n为正奇数）
2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 3/4 · 1/2 · π/2 (n为正偶数）
n为正奇数
∫cosx^ndx (0→π) = 0
n为正偶数
∫cosx^ndx (0→π)
=2 ∫cosx^ndx (0→π/2)
=2 ∫sinx^ndx (0→π/2)
=2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 4/5 · 2/3 · 1 (n为正奇数）
2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 3/4 · 1/2 · π/2 (n为正偶数）
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