【高考数学】9.14 焦点弦长度公式

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【高考数学】焦点弦长度公式深度解析

在求解曲线上的焦点弦问题时，一个关键的公式可以帮助我们快速计算。对于过曲线焦点的直线与曲线的交点，我们有以下结论：

当直线与曲线的焦点F相遇，形成弦AB，其长度L可以通过以下公式计算：

如果曲线是椭圆，焦点弦长度L = 2ae * (1 + cot^2(θ))

其中，a是椭圆的半长轴，e是离心率，θ是直线的倾斜角，而e * a是曲线的通径，即焦点到相应顶点的距离的一半。

对于双曲线，情况略有不同，但原理类似：

双曲线焦点弦长度L = 2ae * (1 - cot^2(θ))

而在抛物线中，焦点弦本质上是抛物线的通径，因为离心率e=1，所以公式简化为：

抛物线焦点弦长度L = 2 * p * (1 + cot^2(θ))

现在，让我们应用这些公式来解决两个具体问题：

例1：对于椭圆 4x^2 + y^2 = 16 的左焦点，斜率为1/2的直线交椭圆于两点A和B，焦点弦长度L为：

L = 2 * 2 * √(1 - (1/2)^2) * (1 + (1/√3)^2)

计算得：L = 32/3

例2：过抛物线 y^2 = 4px 的焦点（p/2, 0），倾斜角为θ的直线交抛物线于C、D两点，由于抛物线的离心率e=1，我们可以直接使用简化后的公式：

焦点弦长度L = 2 * p * (1 + cot^2(θ))

请根据已知条件计算出具体长度。

这些公式不仅适用于高考数学题目的解答，更是理解曲线性质和弦长计算的核心工具。掌握它们，将在求解这类问题时游刃有余。