证明:设这个长方形为ABCD
(1)若这条截线经过长方形的相邻两条边(不含端点),设截AB,AC于E,F,连接BC
三角形ABC的面积为长方形的面积的一半,而三角形AEF的面积小于三角形ABC,不存在符合题意的三角形AEF。
(2)若这条截线经过长方形的相对两条边(不含端点),设截AB,CD于E,F,
则四边形ADFE的面积为:1/2(AE+DF)*AD
四边BEFC的面积为:1/2(BE+CF)*BC,
又因为四边形ADFE的面积等于四边BEFC的面积,AD=BC
所以AE+DF=BE+CF
又因为AE+EB=DF+FC
所以AE=FC,连接AC交EF于O,
易证三角形AOE全等于三角形COF,
所以AO=OC,所以O为长方形的中心,所以截线EF过长方形的几何中心。
(3)若截线过长方形的两个端点,则该截线为长方形的对角线,结论成立。
终上所述,这条直线一定要通过长方形的中心。
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