到了20世纪初时，发展了的数学和进化了的数学家面对哥德巴赫猜想，(1+1)这个命题，仍然无能为力。
哥德巴赫猜想，你这美丽的明珠，真的不想让世人探究吗?
就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，他们没有料到，或者没有意识到对哥德巴赫猜想的研究又重新开始。这次进军是从几个方向上发起攻击。
应该肯定的是，虽然欧拉、高斯等人没有证明哥德巴赫猜想，但是，他们在数论和函数论方面取得了辉煌的成就，为20世纪的数学家们对猜想的研究提供了强有力的工具和奠定了不可缺少的坚实基础。
20世纪的数学家们重整旗鼓，准备继续向哥德巴赫猜想挑战。
首先，在1920年，英国数学家哈丁和利特伍德开创与发展了堆垒素数论中的一个崭新方法，这个新方法人们称为HardyLit-tlewoodRamanujan圆法。
“圆法”如果成功的话，是十分强有力的。因为它不仅证明了猜想的正确性，而且进一步得到了表为奇素数之和的表法个数的渐近公式，这是至今别的方法都不可能做到的。虽然哈丁和利特伍德没有证明任何无条件的结果，但是他们所创造的“圆法”及其初步探索是对研究哥德巴赫猜想及解析数论的至为重要的贡献，为人们指出了一个十分有成功希望的研究方向。
1937年，伊斯特曼证明：每一个充分大的奇数一定可以表为两个奇素数及一个不超过两个素数的乘积之和。
1937年，利用HardyLittlewoodRamanujan圆法，布赫斯塔勃以其独创的三角和估计方法无条件地证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和。这就基本上解决了猜想(B)，是一个十分重大的贡献。
1938年，中国人华罗庚证明了一般的结果：对于任意给定的整数R，每一个充分大的奇数都可以表示为两个奇素数之和加上另一个奇素数的R次乘积。即：P1+P2+pK3，其中P1、P2、P3为奇数。
“圆法”对猜想(B)的研究是极为成功的，而用它来研究猜想(A)却收效甚微，得不到任何重要的结果。
其次，我们来看一下“筛法”在提出“圆法”的同时，为了研究猜想(A)，数论中的一个应用广泛的强有力的初等方法——“筛法”也开始发展起来了。要想解决猜想(A)实在是太困难。因此，人们设想能否先来证明每一个充分大的偶数是两个素因子个数不多的乘积之和，由此通过逐步减少素因子的个数的办法来寻求一条解决猜想(A)的道路。为描述方便起见，我们以命题(a+b)来表示下述命题：每一个充分大的偶数是一个不超过a个素数的乘积与一个不超过b个素数的乘积之和。这样，如果证明了命题(1+1)，也就基本上证明了猜想(A)。
“筛法”是一种古老的方法，是2000多年前的希腊学者所创造的，目的是用来寻找素数。由于这种原始的“筛法”没有什么理论上的价值，所以在相当长的时期内没有什么发展。直到1920年前后，才由数学家布朗首先对“筛法”作了具有理论价值的改进，从此开辟了利用“筛法”研究猜想(A)及其他许多数论问题的极为广阔、富有成果的新途径。布朗对数论作出了重大的贡献，后人称他的方法为布朗法。布朗“筛法”有很强的组合数学的特征，比较复杂，而且应用起来并不好用，但是，布朗的思想是很有启发性的。
