跪求几道高中数学题 。

Question

1. 用适当的方法证明：已知a>0，b>0 ，求证：(a/√b)+(b/√a)≧√a + √b

2.已知f(x)=√x ，g(x)=a*lnx ， a∈R。

（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交， 且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程。
（2)设函数h(X)=f(x)-g(x)，当h(x)纯存在最小之时，求其最小值m(a)的解析式。

3.已知定点A(-1, 0) ，F(2， 0) ,定直线l：x=(1/2) 不在x轴上的动点与F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的轨迹为E，过点F的直线交B，C两点，直线AB，AC分别交l于点M，N。
（1）求E得方程。
（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。

Answer 1

2.解：（1）f'（x）=1 2 x ，g'（x）=a x (x＞0)
有已知得 x =alnx 1 2 x =a x 解得：a=e 2 ，x=e2
∴两条曲线的交点坐标为（e2，e）
切线的斜率为k=f'（e2）=1 2e∴切线的方程为y-e=1 2e （x-e2）
（2）由条件知h（x）= x -alnx（x＞0），
∴h′（x）=1 2 x - a x = x -2a 2x ，
（Ⅰ）当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a2，
所以当0＜x＜4a2时h′（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上递减；
当x＞4a2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a2）上递增．
所以x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
所以Φ（a）=h（4a2）=2a-aln4a2=2
（Ⅱ）当a≤0时，h（x）= x -alnx（x＞0），h（x）在（0，+∞）递增，无最小值．
综上知，h（x）的最小值Φ（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a＞0）．
3.解：（I）设P（x，y），
则 (x-2)2+y2 =2|x-1 2 |
化简得x2-y2 3 =1（y≠0）；（4分）
（II）①当直线BC与x轴不垂直时，
设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x2-y2 3 =1联立消去y得
（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0
由题意知3-k2≠0且△＞0
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则 x1+x2=4k2 k2-3 x1x2=4k2+3 k2-3 y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]
=k2（4k2+3 k2-3 -8k2 k2-3 +4）
=-9k2 k2-3
因为x1、x2≠-1
所以直线AB的方程为y=y1 x1+1 （x+1）
因此M点的坐标为（1 2 ，3y1 2(x1+1) ） FM =(-3 2 ，3y1 2(x1+1) )，
同理可得 FN =(-3 2 ，3y2 2(x2+1) )
因此 FM • FN =(-3 2 )2+9y1y2 2(x1+1)(x2+1)
=4 9 +-81k2 k2-3 4(4k2+3 k2-3 +4k2 k2-3 +1) =0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，
则B（2，3），C（2，-3）
AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（1 2 ，3 2 ）， FM =(-3 2 ，3 2 )
同理可得 FN =(-3 2 ，-3 2 )
因此 FM • FN =(-3 2 )2+3 2 ×(-3 2 )=0
综上 FM • FN =0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．
1问上一位已经解答了

追问

哥们， 你第二题的求导是不是算错了？？？
f‘(x)=12x？？？ 我写的f(x)是等于根号2...

追答

不好意思，有些符号没有，现在补上,若有问题，很高兴能指出
2.解：（1）f'（x）=1/ 2√ x ，g'（x）=a/ x (x＞0)
有已知得 √ x =alnx 1 /√2 x =a x 解得：a=e /2 ，x=e²
∴两条曲线的交点坐标为（e²，e）
切线的斜率为k=f'（e）=1/ 2e∴切线的方程为y-e=1 /2e（x-e²）
（2）由条件知h（x）= √x -alnx（x＞0），
∴h′（x）=1 /2√ x - a /x =(√ x -2a)/ 2x ，
（Ⅰ）当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²，
所以当0＜x＜4a²时h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a²）上递增．
所以x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
所以Φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2
（Ⅱ）当a≤0时，h（x）=√ x -alnx（x＞0），h（x）在（0，+∞）递增，无最小值．
综上知，h（x）的最小值Φ（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a＞0）．
3.解：（I）设P（x，y），
则 √﹙(x-2)²+y²﹚ =2|x-1 2 |
化简得x²-y²/ 3 =1（y≠0）；（4分）
（II）①当直线BC与x轴不垂直时，
设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x²-y²/ 3 =1联立消去y得
（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由题意知3-k²≠0且△＞0
设B（x1，y1），C（x2，y2），
则 x1+x2=4k² /(k²-3 ) ; x1x2=﹙4k²+3﹚／﹙ k²-3 ﹚
y1y2=k²（x1-2）（x2-2）=k²[x1x2-2（x1+x2）+4]
=k²[（4k²+3﹚/﹙ k²-3 ﹚-8k²/﹙ k²-3 ﹚+4]
=-9k² /﹙k²-3 ﹚
因为x1、x2≠-1
所以直线AB的方程为y=﹙y1/ x1+1﹚ （x+1）
因此M点的坐标为（1 /2 ，3y1/ 2(x1+1) ） FM =(-3/ 2 ，3y1/ 2(x1+1) )，
同理可得 FN =(-3 /2 ，3y2/ 2(x2+1) )
因此 FM • FN =(-3 /2 )²+9y1y2/ 2(x1+1)(x2+1)
=4 /9 +﹙-81k²/ k²-3 ﹚/ [4(4k²+3 ﹚/﹙k²-3﹚ +4k²/﹙ k²-3 ﹚+1)] =0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，
则B（2，3），C（2，-3）AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（1/ 2 ，3/ 2 ）， FM =(-3/ 2 ，3 /2 )
同理可得 FN =(-3 /2 ，-3/ 2 )
因此 FM • FN =(-3 /2 )²+3/ 2 ×(-3/ 2 )=0
综上 FM • FN =0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．

Answer 2

1.：(a/√b)+(b/√a)≧√a + √b
作差：左边-右边
(a/√b)+(b/√a)-√a - √b
=(a/√b)-√b+(b/√a)-√a
=(a-b)/√b+(b-a)/√a
=〔（√a - √b）（√a - √b）（√a + √b）〕/√ab
a>0，b>0
上式≧0
(a/√b)+(b/√a)≧√a + √b

Answer 3