为什么1*2+2*3+3*4+4*5+……+n*（n+1）=n*（n+1）*（n+2）/3 谁能给我个证明过程 不用数学归纳法 不复制

Answer 1

解析：

因为1×2＝1/3×1×2×3，1×2＋2×3＝1/3×2×3×4，1×2＋2×3＋3×4＝1/3×3×4×5，1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝1/3×4×5×6，结论：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝ n(n＋1)(n＋2)这种题的规律很难发现【解析】这个主要利用两个公式1+2+3+.....+n=n(n+1)/21^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/61×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+....+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)

Answer 2

1x2+2x3+3x4+4x5+...+n×（n+1
=(1+2²+3²+...+n)+(1+2+3+...+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(2n+1+3)/6
=n(n+1)(n+2)/3

Answer 3

1×2+2×3+3×4+4×5+…n(n+1)
=1×(1+1)+2×(2+1)+3×(3+1)+4×(4+1)+…n(n+1)
=1²+1+2²+2+3²+3+4²+4+…+n²+n
=1²+2²+3²+4²+…+n²+1+2+3+4+…n
=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)(2n+1+3)
=(1/3)n(n+1)(n+2)

至于为什么1²+2²+3²+4²+…+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)
原理如下
解：∵n³-(n-1)³=（n-n+1)×[n²+n(n-1)+(n-1)²]=3n²-3n+1
1³-0³=3×1²-3×1+1
2³-1³=3×2²-3×2+1
3³-2³=3×3²-3×3+1
……
n³-(n-1)³=3n²-3n+1

将上述等式全部相加
n³=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+4+…+n)+n
=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3n(n+1)/2+n
=3×(1²+2²+3²+…+n²)-n(3n+1)/2
故1²+2²+3²+…+n²=[n³+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

左边=2(2C2+3C2+……+(n+1）C2）
=2（3C3+3C2+4C2……+(n+1）C2)
=2(4C3+4C2……+(n+1）C2)
=2((n+1)C3+(n+1)C2)
=2 (n+2)C3
=n(n+1)(n+2)/3=右边

有人问过了，引用一下

Answer 5

为什么额头上会长痘痘？