如何用极限的定义来证明函数极限的四则运算?

如题所述

求证:当x趋近于x0时,函数f(x)的极限等于A 。

证明:只要证明:对任意小的e>0,存在d>0,当|x-x0|<d时,有|f(x)-A|<e,则证毕!
这里关键是使|f(x)-A|进行适当放大,得到 |f(x)-A|< g(|x-x0|) 然后,令g(|x-x0|)<e,从中解出 |x-x0|<v(e),然后取d=v(e)即可 。

例子:|f(x)-A|<6|x-x0| < e |x-x0|<e/6,取d=e/6 对任意小的e>0,存在d=e/6>0,当|x-x0|<d时,有|f(x)-A|<6|x-x0| <(6*e/6)=e。


概念

在一个变化过程中,发生变化的量叫变量(数学中,变量为x,而y则随x值的变化而变化),有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。

自变量(函数):一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量(函数):随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。

函数值:在y是x的函数中,x确定一个值,y就随之确定一个值,当x取a时,y就随之确定为b,b就叫做a的函数值。

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如何用极限的定义来证明函数极限的四则运算?
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具体回答如图:极限四则运算法则的前提是两个极限存在,当有一个极限本身是不存在的,则不能用四则运算法则。

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