已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中

Question

已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,等差数列{bn}中,b1=2,点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上，:设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn

Answer 1

不好意思，好长时间不做了，有点生疏，卷面不是太整洁，望见谅

我做数列的习惯是先挖掘已知条件，所以这道题的前两问我是一起算的，做等比数列乘以等差数列为通项数列的前n项和用错位相减法去解，即是万能钥匙。

下面附错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。

例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；

当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

两式相减得(1-x)Sn=1+2[x+x^2+x^3+x^4+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；

化简得Sn=1/1-x+(2x-2x^n)/(1-x)^2-(2n-1)*x^n/1-x

注意做等比数列时，不要忘记考虑公比q是否为1

Answer 2

（1）∵an是sn与2的等差中项
∴sn=2an-2
∴a1=s1=2a1-2，解得a1=2
a1+a2=s2=2a2-2，解得a2=4
∵sn=2an-2，sn-1=2an-1-2
又sn—sn-1=an
∴an=2an-2an-1
∵an≠0
∴即数列{an}是等比数列
(2)∵数列{an}是等比数列
又a1=2
∴an=2^n
∵点p(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上
∴bn-bn+1+2=0
∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列
又b1=1
∴bn=2n-1
（3）∵cn=(2n-1)2n
∴tn=a1b1+
a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n
∴2tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1
因此：-tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1
即：-tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1
∴tn=(2n-3)2n+1+6

Answer 3

因为an是Sn与2的等差中项，所以2an=Sn+2，所以a1=2,a2=4,又{an}为等比数列，所以公比q=2.

点P(bn,bn+1)在直线y=x+2上,所以点bn+1=bn +2，bn+1-bn =2，公差是2.

Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+......+(an+bn)==(a1+a2+......+an)+(b1+b2+......+bn),再用等差数列、等比数列求和公式即可.

Answer 4

解：
∵an是Sn与2的等差中项
∴2an＝Sn＋2 (*)
令n＝1，得2a1＝S1＋2＝a1＋2
∴a1＝2
由(*)得：
2a(n＋1)＝S(n＋1)＋2
两式相减，得：
2a(n＋1)－2an＝a(n＋1)
即a(n＋1)＝2an
a(n＋1)/an＝2
∴{an}是以首项a1＝2，公比q＝2的等比数列
∴an＝2•2^(n－1)＝2^n

点P(bn，bn＋1)在直线y＝x＋2上
则b(n＋1)＝bn＋2
即b(n＋1)－bn＝2
∴{bn}是以首项b1＝2，公差d＝2的等差数列
∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n

Cn＝an＋bn＝2^n＋2n
用分组求和的方法求Tn即可
Tn＝(2＋4＋……＋2^n)＋(2＋4＋6＋……＋2n)＝[2(1－2^n)/(1－2)]＋n(2＋2n)/2＝2^(n＋1)＋n^2＋n－2

追问

Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn要详细的步骤

追答

嗯嗯
分组求和求Cn的前n项和Tn
即Tn＝2^1＋2＋2^2＋2×2＋2^3＋2×3＋……＋2^n＋2n＝(2^1＋2^2＋2^3＋……2^n)＋(2＋4＋6＋……＋2n)
利用等比以及等差数列的求和公式即可
等比Sn＝[a1(1－q^n)/(1－q)]
等差Sn＝na1＋[n(n－1)/2]×d或Sn＝n(a1＋an)/2

代入，就是我上面所求的~~~

Answer 5

解：
(1)
由an是Sn与2的等差中项得2an=Sn +2
n=1时，2a1=S1+2=a1+2 a1=2
n=2时，2a2=S2+2=a1+a2+2 a2=a1+2=2+2=4
(2)
n=1时，a1=2
n≥2时，2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2
2an-2a(n-1)=Sn+2 -S(n-1)-2=Sn-S(n-1)=an
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，通项公式an=2ⁿ
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：b(n+1)=bn +2
b(n+1)-bn=2
又b1=2
数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。通项公式bn=2n。
(3)
cn=anbn=2n×2ⁿ
Tn=a1b1+a2b2+...+anbn
=2(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)
2Tn=2[1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)]
Tn-2Tn=-Tn=2[2+2²+...+2ⁿ -n×2^(n+1)]
=2[2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)]
=2[2^(n+1) -2 -n×2^(n+1)]
=2[(1-n)×2^(n+2) -2]
=(1-n)×2^(n+3) -4
Tn=(n-1)×2^(n+3) +4。

追问

我求助的是Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn

追答

解：
(1)
由an是Sn与2的等差中项得2an=Sn +2
n=1时，2a1=S1+2=a1+2 a1=2
n=2时，2a2=S2+2=a1+a2+2 a2=a1+2=2+2=4
(2)
n=1时，a1=2
n≥2时，2an=Sn+2 2a(n-1)=S(n-1)+2
2an-2a(n-1)=Sn+2 -S(n-1)-2=Sn-S(n-1)=an
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值。
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，通项公式an=2ⁿ
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：b(n+1)=bn +2
b(n+1)-bn=2
又b1=2
数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列。通项公式bn=2n。
(3)
Cn=an+bn=2ⁿ+2n
等比数列Sn＝[a1(1－q^n)/(1－q)]
等差数列Sn＝na1＋[n(n－1)/2]×d
Tn=[2(1－2^n)/(1－2)]+2n＋[n(n－1)/2]×2