概率论中随机变量（离散和连续）的pmf和pdf是如何推导出来的呢？

Question

比如指数分布描述的是随机事件发生的间隔，泊松分布描述的是小几率事件在一定间隔中发生的次数。为什么这些事情可以用那些公式描述？是如何证明的？我看的是浙大的概率论与数理统计教材，感觉没怎么说来历，就让学生们记住就行。。我不信服阿，想看证明，应该去哪里找？

Answer 1

需要根据具体情况推导，不同的概率分布，原因是其随机变量实际上是受到某种因素影响而出现的，所以必须知道其影响因素本身，然后再考虑随机的因素才有实际的分布函数。没有一个包打天下的方法。

离散型的数值主要是排列组合的方式推导，连续的则更为复杂。

扩展资料：

 PDF：概率密度函数（probability density function）, 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。本身不是概率，取值积分后才是概率。

PMF: 概率质量函（probability mass function), 在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。

 CDF: 累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。是PDF在特定区间上的积分。  CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数。

参考资料来源：百度百科——随机变量

Answer 2

需要根据具体情况推导，不同的概率分布，原因是其随机变量实际上是受到某种因素影响而出现的，所以必须知道其影响因素本身，然后再考虑随机的因素才有实际的分布函数。没有一个包打天下的方法。离散型的数值主要是排列组合的方式推导，连续的则更为复杂。

质量函数，分为概率质量函数和初始质量函数。

在概率论中，概率质量函数 (Probability Mass Function，PMF)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数和概率密度函数不同之处在于：概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率。

注意这在所有实数上，包括那些X不可能等于的实数值上，都定义了 fX(x)。在那些X不可能等于的实数值上， fX(x)取值为0 ( x ∈ R\S，取Pr(X = x) 为0)。

离散随机变量概率质量函数的不连续性决定了其累积分布函数也不连续。

假设X是抛硬币的结果，反面取值为0，正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个Bernoulli随机变量)中，X = x的概率是0.5，所以概率质量函数是：

概率质量函数可以定义在任何离散随机变量上，包括常数分布, 二项分布 (包括Bernoulli分布), 反二项分布, Poisson分布, 几何分布以及超几何分布随机变量上。

在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。probability density function，简称PDF。

这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。

随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。

密度函数f(x) 具有下列性质：

对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是，如果存在可测函数 

满足：  ,那么X是一个连续型随机变量，并且是它的概率密度函数。

连续型随机变量的概率密度函数有如下性质：

如果概率密度函数fX(x)在一点x上连续，那么累积分布函数可导，并且它的导数：

 由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是：

Answer 3

离散就是 事件 或 具体的个数 概率图中相当于一个长方形柱

连续就是无数细化 相当无数的长方形柱 渐渐的边角变成了线 就是函数了
无论如何 都符合 累计概率为1， 离散就是长方形柱面积为1，连续就是曲线图形为1.

追问

您这个有点所答非所问吧。。。