线性代数，施密特正交化，课本有说，正交矩阵化实对称矩阵A为对角矩阵步骤：

Question

课本有说，正交矩阵化实对称矩阵A为对角矩阵步骤：
1. 求出A的全部特征值λ1，λ2，λ3, ..., λn;
2. 对每个特征值λi, 求出相应齐次线性方程组 （λiE-A)x=0 的一个基础解系，并利用施密特正交化方法将这个基础解系中的向量先正交化再单位化（如λi为单特征值或该基础解系已是正交向量组，则只需要单位化），从而得到属于特征值λi的正交化单位化的特征向量。
3. ....
实对称矩阵的定理有说，属于不同特征值的特征向量是正交的
我的问题是：基础解系是由特征向量组成，那就天然正交了，为何第二步要提及施密特正交化？有什么例子需要正交化的？

Answer 1

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交，直接单位化。
实对称矩阵的重特征值对应多个特征向量，这些特征向量并不正交，
要先正交化，再单位化。书上都有例子的。

Answer 2

属于不同特征值的特征向量是正交的，但如果一个特征值的重数k＞1，那么属于这个特征值的线性无关的特征向量有k个，这k个特征向量不一定正交，需要对它们正交化。