磁场、重力场下的粒子运动问题

Question

一个水平放置的档板中间有一个小孔S，一个质量为m电量为q的粒子从小孔进入档板以下空间。设粒子初速度为0，档板以下为B足够大的均匀磁场区域，其磁感应强度为。求在重力和磁场力的共同作用下，粒子的运动速度和位置坐标。
有没计算方便一点的做法。

Answer 1

这个不好表达。不过我自己在纸上画了画，应该可以解出来。下面把思路简单说说。
设x为水平向，y为垂直向(即重力)。设两个方向的加速度为ax,ay，两个方向的速度为vx,vy。有
ay=g-(vx*B*q)/m;
ax=vy*q*B/m;
速度和由加速度对时间积分可得，于是可分别消去上两式中的加速度项，再联立解线性方程组，即可得两个方向上的速度表达式（与时间相关），再将速度对时间积分即可分别得到任意时刻粒子在两个方向上的运动距离。那个积分我简单看了看，用一点小技巧，应该可以求解。结果中好像有感触函数，所以目标可能会是一个不断向下的往复运动。具体情形可用 MatLab画图辅助查看。

追问

能把式子列出来吗？

追答

感觉这个方法还是过于繁琐，过了太多年没弄这些东西了，可能有更简便的做法。以上书写可能有误，请按照上述方法自行解算。两个积分都用到了反正切的公式。

追问

不知道那个 V是怎样计算得出来的，有过程吗？

追答

上面已经说过了，就是用这两个加速度的等式。
ay=g-(vx*B*q)/m;
ax=vy*q*B/m;
这个怎么来的应该不用说了吧，就是用加速度与洛伦兹力的合力除以m。
加速度积分后就是速度。对上两式两边分别取积分，左边分别变成vx和vy，右边会乘以t,，再联立解方程组就可以了。

方便一点的做法我还没想到。

PS:第一次回答中的“三角”函数误写成“感触”函数了。

Answer 2

带电粒子在磁场中运动-放缩圆模型较为常见，也是磁场类题目较难的部分，学生应该集中掌握该类模型的特点进行强化训练。