3个线性代数问题

Question

1、设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________.
2、实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是几
3、设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=

Answer 1

1、 _3_。
设A的对应于2的特征向量为x，则 Ax = 2x。所以 A*(Ax) = A*(2x) = 2A*x 。
因为 A* A = |A| E， E 为3阶单位矩阵，所以 A*(Ax) =(A*A)x = |A| E x = |A|x = 6x，
所以 2A*x = 6x ，A*x = 3x 。所以A*必有一个特征值为3 。
2. _2_ 从直观上看，V表示的是三维空间中的平面，平面是一个二维空间，所以答案为2.
从 数学上看， 取 v1 = （1,0,-3/5），v2 =（0,1,-2/5）。
对于V中任意向量（x，y，z），因为3x+2y+5z=0，所以 z = -(3x+2y)/5。从而存在常数x，y 使得
x1 v1 + x2 v2 = (x，y，-(3x+2y)/5) = (x,y,z) ，即V中任意向量可以由v1，v2 线性表出。
因为 v1，v2线性无关，所以V的维数为2.
3. _1_
因为 P为n阶正交矩阵，所以 PP' = P'P = E，E为n阶单位矩阵。
因为x是n维单位长的列向量，所以 ||x|| =1， x' x = || x ||² = 1.
所以 ||Px||² = (Px)' (Px) = x' P' P x = x' E x = x'x =1，
所以 || Px || = 1

Answer 2

1、3
2、2
3、1