lim x→∞[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k),当k取何值，极限为常数

Answer 1

解：原极限=lim x→∞[(x^4-25*x^2)/x^k]

分子分母同时除以x^4，得原极限=lim x→∞[1-(25/x^2)]/x^(k-4)

此时显然分子有不等于0的极限1，所以原极限=lim x→∞[1/x^(k-4)]，

①当k=4时，原极限=lim x→∞(1/1)=1，为常数；

②当k>4时，原极限=lim x→∞(1/∞)=0，为常数；

③当k<4时，原极限=lim x→∞[x^(4-k)]=∞ ，不是常数。

综合①②③，得k≥4时，原极限为常数。 k取值为{k|k≥4} 

Answer 2

超速把题改了==
令y=[(x^2+5x)/(x^2-5x)]^(x^k)
lny=x^k ln[(x^2+5x)/(x^2-5x)]
=ln[(x^2+5x)/(x^2-5x)]/(x^(-k))
若y极限是常数
则lny极限也是常数
用等价无穷小替换
ln(1+t)~t, t->0

此处所以有
ln[(x^2+5x)/(x^2-5x)]

=ln[1+(10x)/(x^2-5x)]
=ln[1+(10)/(x-5)]
当x->无穷时
10/(x-5)->0
所以
ln[1+(10)/(x-5)]~(10)/(x-5)

所以lny=(10)/(x-5)/(x^(-k))
=10x^k/(x-5)
=10x^(k-1)/(1-5/x)
当x趋向于∞时，分母趋向于1-0=1
所以为了lny的极限是常数
分子的极限是有限数
所以为了使x^(k-1)在x趋向∞时有限
必然有k-1<=0
k<=1