已知函数f（x）=2的x次方+2的-x次方

Question

（1)判断函数奇偶性 （2）求函数的单调递增区间，并证明

Answer 1

1.显然有f(-x)=f(x) 故为偶函数
2.因是偶函数,可先考虑x>=0时情况,不妨设0<=a<b,
f(b)-f(a)=(2^b)+(2^-b)-(2^a)-(2^-a),其正负不好判定,可将其乘以一个正数2^(a+b),得
2^(a+2b)+2^a-2^(2a+b)-2^b=
(2^(2a+b)-2^a)*(2^(b-a)-1) >0,故x>=0时为增函数,
推出x<0时为减函数

追问

给点过程，还有第二题呢

追答

用导数来判断单调性当然更简单,只是不知道现在高中学不学导数,

Answer 2

(1)2的x次+1>0
所以定义域为r
(2)f(-x)=(2的-x次-1)/(2的-x次+1)=(1-2的x次)/(1+2的x次)=-f(x)
所以f(x)为奇函数

Answer 3

(1)f(x)=
[2^x-2^(-x)]/[2^x+2^(-x)]，
∵对于任意的x∈R，2^x>0
，2^(-x)>0，2^x+2^(-x)>0，
∴函数的定义域为R.
令f(x)=y，
则y=
[2^x-2^(-x)]/[2^x+2^(-x)]
[2^x+2^(-x)]y=[2^x-2^(-x)]
[2^(2x)+1]y=[2^(2x)-1]
2^(2x)=(1+y)/(1-y)
∵当x∈R时，
2^(2x)
∈（0＋，∞）
∴(1+y)/(1-y)>0，解得-1
0
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
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