【笔记】线性代数（3）

Answer 1

行列式：降阶探索与代数余子式的奥秘</

行列式的魅力在于其独特的展开法则。当我们以某个元素为中心，剔除同行同列的元素，留下的这部分被称为该元素的余子式，记为Mij。以M₂₃为例，这个二阶余子式的出现，实际上降低了阶次，揭示了行列式的本质结构。

更深入的是，代数余子式</的引入，是对原始余子式的一种扩展，它在正负号的选择上有所变化，由行角标和列角标共同决定。例如，M₂₃的代数余子式在计算过程中扮演了关键角色。

行列式展开法则</如是说：任何行列式D，等于任一行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。实践上，选择带有零元素的行进行展开，简化计算。例如，按第二行展开，我们得到D = (-1)^(2+1)M₂₁ + (-1)^(2+2)M₂₂ + 0，这个过程旨在逐步降低阶次以求得D的值。

克拉默法则：解线性方程的神器</

当我们面对线性方程组时，克拉默法则犹如一把钥匙。例如，通过将系数提出，构建行列式矩阵，克拉默法则允许我们计算每个未知数的值。以一个简单的例子为例，通过计算行列式D、D₁和D₂，我们可以轻松求解方程组的未知数。

克拉默法则还有两个重要结论：若行列式D不为零，方程组有唯一解；而当D为零，可能无解或解不唯一，这源于行列式中元素的重复或比例关系，如2x1+6x2=2与1=1这样的矛盾。

齐次与非齐次线性方程组</

区分齐次与非齐次方程组在于方程组右端的元素是否全为零。如果全为零，可能有零解（所有未知数均为零）或非零解（非所有未知数同时为零）。行列式在此时扮演了关键角色：当系数行列式D不为零，只有零解；而当D为零，则存在非零解，这是由于系数与未知数的组合导致的结果。