已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c.过曲线y＝f(x)上的点p(1.f(1))的切线方程为y＝

Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c.过曲线y＝f(x)上的点p(1.f(1))的切线方程为y＝3x＋1.若函数y＝f(x)在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围……用看对称轴解是啥意思来着……求详解给跪了……回答好会追加分的……
…但答案是b≧0啊亲…而且我想知道先求导然后分对称轴那个方法肿么做来着…

Answer 1

用求导的方法来解

f'(x)=3x²+2ax+b，过曲线y＝f(x)上的点p(1.f(1))的切线方程为y＝3x＋1，则f(1)=3+1=4

即P(1，4)代入f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c中得a+b+c=3…………………………①

切线斜率为3=f'(1)=3+2a+b得2a+b=0……………………………………②

由①②得a=-b/2，c=3-b/2

由函数y＝f(x)在区间[-2，1]上单调递增可得f'(x)=3x²-bx+b≥0对于任意x∈[-2，1]恒成立，

设g(x)=f'(x)=3x²-bx+b=3(x-b/6)²+b-b²/12，则二次函数g(x)=f'(x)图像的对称轴是x=b/6

为了使g(x)=3(x-b/6)²+b-b²/12≥0对于任意x∈[-2，1]恒成立

则必须

b/6≤-2且g(-2)≥0成立………………………………③→b∈Φ

或者△=b²-12b≤0成立………………………^^^…④→b∈[0，12]

或者b/6≥1且g(1)≥0成立…………………………⑤→b∈[6，+∞）

以上三种情况取并集得b≥0

稍候我传个图像你看看g(x)图像的位置情况，你自己看看

追问

其实我就是不知道那个对称轴为什么要分成三种情况来讨论…就是完全不理解那个对称轴干嘛的用……还是很谢谢！给数学苦手讲题太费劲了吧……

追答

对称轴是确定抛物线位置重要因素，所以讨论二次函数一般都需要讨论对称轴，具体怎样讨论，要根据具体题型而定，在这儿一两句也说不清楚啊