有关双曲线的所有知识点

Answer 1

一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
　　
2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

二．双曲线的内外部：

(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.

三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

四．双曲线的简单几何性质
－=1（a＞0，b＞0）
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称
⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）
⑷渐近线：
①若双曲线方程为渐近线方程
②若渐近线方程为双曲线可设为
③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是
⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是

五．双曲线 与 的区别和联系

标准方程

性

质

焦点

，

焦距

范围

顶点

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

6.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。

第三部分 典型例题分析

考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1：运用双曲线的定义
[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ①
又②
由①、②解得

直角三角形，
故选B。
2.如图2所示，为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] ，选C
3.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）
［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，
由圆的切线性质知，

题型2 求双曲线的标准方程
[例2 ]已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组
[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，
将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.
【新题导练】
4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；
[解析]设双曲线方程为，
当时，化为，，
当时，化为，，
综上，双曲线方程为或
5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为
6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（x > 0） D．
[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

考点2 双曲线的几何性质
题型1 与渐近线有关的问题
1.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A． B． C． D．
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
基础巩固训练
2.以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是
（A） （B）
（C） （D）
[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A

类型三：综合练习
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围
解（1）设双曲线方程为
由已知得，再由，得
故双曲线的方程为.
（2）将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设，则
，由得，
而
.
于是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为

2．已知直线与双曲线交于、点。
（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，
请求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1）由消去，得（1）
依题意即且（2）
（2）设，，则
∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴
但
由（3）（4），，
∴ 解得且满足（2）
（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直
∴ ，即 直线的方程为
将代入（3）得
∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为
但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。
3．(1)椭圆C:(a＞b＞0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解：(1)
(2)设中点为(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
则 为定值.

4.已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线存在，并设、
则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得
若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由
得 根据,说明所求直线不存在。

5.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点。
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。
解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知
故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
∵

依题意得
整理后得
∴或
但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点
将点的坐标代入曲线的方程，得得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为
到的距离为
∴的面积

6.已知P为双曲线的右支上一点，分别是椭圆的长轴顶点，连接交椭圆于，若与面积相等.
（1）求直线的斜率和直线的倾斜角；
（2）当的值为多少时，直线恰好过椭圆的右焦点？

7.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程；
（3）过点能否作直线，使与所给双曲线有两个交点，且点是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.

8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知，，设，．
（I）解法一：（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．

（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．

9.（2009上海卷）（本题满分16分）
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；
（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
（1）解 设双曲线的方程为
，解得，双曲线的方程为
（2）解 直线，直线
由题意，得，解得
（3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线
则直线与的距离当时，
又双曲线的渐近线为
双曲线的右支在直线的右下方，
双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为
（3）方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，
则
由（1）得
设，
当时，；

将代入（2）得
，

方程不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为

10.（2009福建卷文）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线
分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，
从而
由得0
设则得，从而
即又
由得

故
又
当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或

Answer 2

8.4 双曲线的简单几何性质
一、 本讲主要内容
1、 双曲线的第二定义
2、 双曲线的几何性质及应用
3、 直线与双曲线的位置关系
二、 学习指导
1、 双曲线的几何性质分为两大类
（1） 自身固有的几何性质：
① 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；
② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。两准线之间距离为 ； 焦准距（焦参数） ；
③ 离心率 ，e>1，e越大，双曲线开口越阔。
（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下：
焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线
方 程 （a>0，b>0）
（a>0，b>0）

顶 点 （±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0）
焦 点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2(0，c)
准 线 x=±
y=±

渐近线 y=±
y=±

对称性 关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称
范 围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
焦半径 P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0
P在右支：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a P在下支：|PF1|=-a-ey0，|PF2|=a-ey0
P在上支：|PF1|=ey0+a，|pF2|=ey0-a

2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。
3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程。
直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。
4、在 （a>0，b>0）中，若a=b，则双曲线为等轴双曲线，其离心率 。
5、 双曲线 与 称为共轭双曲线。
5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e1、e2满足 =1。
6、已知双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ；若已知渐近线方程为 ，则对应的双曲线方程为