分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
二 对称式和轮换式的分解
例 分解因式：（x3+y3+z3）-3xyz.
分析 当x=-y-z时，原式=0,由因式定理得原多项式有因式x+y+z，再由待定系数法分解。
解 原式为三次齐次对称式。
令 x=-y-z，则
原式=（-y-z）3+y3+z3-3(-y-z)yz
=-(y+z)3+y3+z3+3y2z+3yz2
=0
由因式定理得，原式有因式x+y+z,
故可设：x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)].
当x=y=0,z=1时，得k1=1
当x=0,y=z=1时，得k2=-1
∴原式(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).
例 分解因式：x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz.
分析 此式是一个三次齐次轮换式。令x=y+z，有原式=0，故原式有因子x-y-z，同理，原式也有y-z-x,z-x-y因子。
解 令x=y+z,则
原式=（y+z）3+y2(2z+y)+z2(2y+z)-[(y+z)3+y3+z3]-2(y+z)yz
=(y+z)3+2y2z+y3+2yz2+z3-(y+z)3-y3-z3-2y2z-2yz2
=0
由因式定理，得原式有因子x-y-z，同理，原式也有因子y-z-x,z-x-y.
故可设，原式k(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)
展开比较系数，得k=-1.
∴原式=-(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)
=(x+y-z(y+z-x)(z+x-y).
例 求方程x+y=xy的整数解。
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。
解： ∵ x+y=xy
∴ (x-1)(y-1)=1.
解之，得 x-1=1,y-1=1;
或 x-1=-1,y-1=-1.
∴ x=2 y=2
或 x=0 y=0
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
二 对称式和轮换式的分解
例 分解因式：（x3+y3+z3）-3xyz.
分析 当x=-y-z时，原式=0,由因式定理得原多项式有因式x+y+z，再由待定系数法分解。
解 原式为三次齐次对称式。
令 x=-y-z，则
原式=（-y-z）3+y3+z3-3(-y-z)yz
=-(y+z)3+y3+z3+3y2z+3yz2
=0
由因式定理得，原式有因式x+y+z,
故可设：x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)].
当x=y=0,z=1时，得k1=1
当x=0,y=z=1时，得k2=-1
∴原式(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).
例 分解因式：x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz.
分析 此式是一个三次齐次轮换式。令x=y+z，有原式=0，故原式有因子x-y-z，同理，原式也有y-z-x,z-x-y因子。
解 令x=y+z,则
原式=（y+z）3+y2(2z+y)+z2(2y+z)-[(y+z)3+y3+z3]-2(y+z)yz
=(y+z)3+2y2z+y3+2yz2+z3-(y+z)3-y3-z3-2y2z-2yz2
=0
由因式定理，得原式有因子x-y-z，同理，原式也有因子y-z-x,z-x-y.
故可设，原式k(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)
展开比较系数，得k=-1.
∴原式=-(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)
=(x+y-z(y+z-x)(z+x-y).
例 求方程x+y=xy的整数解。
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。
解： ∵ x+y=xy
∴ (x-1)(y-1)=1.
解之，得 x-1=1,y-1=1;
或 x-1=-1,y-1=-1.
∴ x=2 y=2
或 x=0 y=0
因式定理
分组分解
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/5836417.html?si=2
即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。
对于有根的三次因式 先求根
x^3+px+q=0(任何一元三次方程都可化为此形式)
其根为:x1=A+B;x2=wA+w^2B;x3=w^2A+wB.
其中,A=三次根号下{-q/2+二次根号下[(q^2)/4+(p^3)/27]};
B=三次根号下{-q/2-二次根号下[(q^2)/4+(p^3)/27]};
w=[-1+根号3)i]/2;i=根号下-1.(希望你学过虚数)
然后就可以分解因式成(X-X1)(X-X2)(X-X3)
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
三次方因式分解怎么做?
1. 分组分解法：当三次方的多项式中有某些项可以组合在一起时，我们可以采用分组的方式进行因式分解。这种方法要求我们对多项式进行观察，尝试将其中的项进行组合，然后利用已知的因式分解方法进行分解。例如，对于多项式x³ + 3x² + 2x，我们可以将其分组为x，然后通过识别括号内的多项式是一...
三次函数如何因式分解?
1、待定系数法 三次函数可以尝试用待定系数法进行因式分解。例子：ax³+bx²+cx+d＝a（x+e）（x²+fx+g），拆开计算出e，f，g的值，x²+fx+g能分解则继续分解，不能分解则因式分解完毕。2、因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．...
三次方分解因式方法
1、提公因式法： 果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。2、公式法: 即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解。3、分组分解法：当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能...
3次方的因式分解的方法
1、直接分解法：对于一些简单的三次多项式，可以直接观察并分解因式。例如，（x^3+3x^2+3x+1）可以直接分解为（（x+1）（x^2+2x+1））。2、公式法：对于特定形式的三次多项式，可以使用公式来分解因式。例如，（x^3+27）可以使用立方和公式分解为（（x+3）（x^2-3x+9））。3、分解质因数...
怎样进行三次项因式分解呢?
三次项因式分解方法如下：1、提取公因式法：找到各项的公因式，然后提取出来。2、公式法：利用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。3、十字相乘法：将多项式写成两组多项式的积的形式，再利用十字相乘法进行因式分解。4、拆项法：将多项式拆成两项或多项的积的形式，再利用公式进行因式分解。5、待定...
如何将三次项因式分解?
1、提公因式法：提公因式法是因式分解的一种基本方法，它通过提取多项式中的公因式来简化表达式。对于一个三次项，我们可以尝试提取公因式，将多项式转化为两个二项式的乘积。例如，对于多项式ax^3+bx^2+cx+d，我们可以提取公因式x，得到（x+1）（ax^2+bx+d）形式的因式分解。2、公式法：公式法...
三次因式分解公式有哪些常见的形式?
三次因式分解是数学中的一个重要概念，它是指将一个多项式分解为三个因子的乘积。三次因式分解公式有以下几种常见的形式：1.完全立方差公式：如果一个多项式可以写成两个数的立方差的形式，那么可以使用完全立方差公式进行因式分解。例如，对于多项式x^3-a^3，可以使用完全立方差公式x^3-a^3=(x-a)...
三次方程怎么因式分解
对于无法进行因式分解的部分，可以使用其他方法（如配方法、求根公式等）进行求解。总结：三次方程的因式分解可以通过因式定理和综合除法进行求解。通过因式定理，我们可以寻找根并进行因式分解；综合除法可以帮助我们找到根及因式。在求解过程中，需要注意选择适当的方法，并按照规定的步骤进行操作。
三次方因式分解
因式分解法:因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用，对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才泉叮能做因式分解。当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次，例如:解方程x3-X=0，对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根:x1=0,x2=1,x3=-1...
如何分解三次方的因式?
三次三项式一般用拆项，减项，先提公共的因式，再像二次那样因式分解。十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来...
