初中三角形问题 要过程!!!!!!!!!!!!!!!急!!!!!!!!!!!!!!单击察看原图

Question

已知在△ABC中,∠ABC=90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D,且点M为EC中点,连接BM,DM
①当点E在BA延长线上时(左图),求证:∠BMD=2∠BCD
②当点E在AB延长线上是(右图),猜想∠BMD和∠BCD所满足的数量关系,并证明你的猜想.
③在②的条件下,连接BD,CD＜DE,若BM=2.5，S△ECD=6,求DE的值?

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Answer 1

解：（1）证明：
∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，
∴BM=DM=CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．
（2）BM=DM，∠BMD=2∠BCD
证明一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=MC，
又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，BM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM
=2（∠BCM-∠DCM）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
证明二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），
=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．

（3）所画图形如图所示：

图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．

Answer 2

解：（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，

∴BM=DM=CE；

又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；

同理可得∠DME=2∠DCM；

∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD

证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，

∴BM=EC=MC，

又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，

∴DM=EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=MC，BM=MC，

∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，

∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM

=2（∠BCM-∠DCM）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，

∴BM=EC=ME；

又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，

∴DM=EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=ME，DM=MC，

∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，

∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，

∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），

=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

（3）所画图形如图所示：

图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；

图2中∠BCD不存在，有BM=DM；

图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．

解法同（2）．