正余弦定理

Question

在三角形ABC中，已知sinA=2sinBcosC,试分别利用正、余弦定理与和角公式两种方法证明三角形ABC是等腰三角形。

Answer 1

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理 ：

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

扩展资料：

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质

S△ABC=1/2absinC

S△ABC=1/2bcsinA

S△ABC=1/2acsinB

参考资料来源：百度百科-正余弦定理

Answer 2

首先，由于
，可知△abc为rt△，其中ab为斜边，所对角∠c为直角，又由于
，则∠b=
90°—∠a=60°，由于本题要计算△def的最短边长，故必要设正△def的边长为x
，且要列出有关
为未知数的方程，对
进行求解。观察△bde，已知：∠b=60°，de=x，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于
的方程。在图中，由于ec=
x•cosα，则be=bc-ec=1-
x•cosα。
而∠b+∠bde+∠1=180°
∠α+∠def+∠1=180°
推出
∠bde=∠α
∠b=60°，∠def=60°
∴在△bde中，根据正弦定理：
bf/sinbde=de/sinb
算出x和α的关系：x=(√3/2)/(√3/2*cosα+sinα),也就是说分母取得最大值，才能使得x有最小值。
把√3/2*cosα+sinα变换√7/2（√21/7*cosα+2√7/7*sinα)令sina=√21/7，则cosa=2√7/7，然后变换成√7/2*sin（a+α）
sin（a+α）的最大值为1，a+α=2kπ+π/2,α=2kπ+π/2-a,所以sinα=cosa=2√7/7。
即当sinα=2√7/7时，三角形def边长最短，最短值为√21/7

Answer 3

a＞b＞c,大角对大边，小角对小边，a>b>c
abc成等差数列可得b-a=c-b，即a+c=2b=8.........(1)
根据正弦定理a/sina=c/sinc，又a=2c，sina=sin2c=2sinccosc,带入化简得到
a=2c*cosc.............(2)
再由余弦定理cosc=(a²+b²-c²)/2ab..........(3)
由(2)(3)得a²b=c*(a²+b²-c²),带入b=4，化简得
(4-c)a²=16c-c³............(4)
联立方程(1)(4)解之得a=4.8,c=3.2

Answer 4

解答：
第一题：
a^2+b^2=c^2+√2ab
→(a^2+b^2-c^2)/2ab=√2/2,
→cosC==√2/2→C=π/4.
→A+B＝3π/4.
又tanB/tanC=(2a-c)/c
→tanB=(2a-c)/c＝2(sinA/sinC)-1
→tanB=2√2sinA-1
→tan(3π/4-A)=2√2sinA-1
→[tan(3π/4)-tanA]/[1+tan(3π/4)*tanA]=2√2sinA-1
→(-1-tanA)/(1-tanA)=2√2sinA-1
→(1+tanA)/(tanA-1)=2√2sinA-1
→2tanA/(tanA-1)=2√2sinA
→tanA＝√2sinA*(tanA-1)(约了sinA)
→1/cosA=√2*(sinA/cosA-1)
→1＝=√2*(sinA-cosA)
→sinA-cosA＝1/√2
→√2sin(A-π/4)=1/√2
→sin(A-π/4)=1/2
→A-π/4＝π/6
→A＝5π/7.
综上得：A＝5π/7，C=π/4.
第二题：
(1)
cosB/cosC=-(b/(2a+c))
→cosB/cosC=-sinB/(2sinA+sinC)
→cosB*(2sinA+sinC)＝-sinBcosC
→cosB*2sinA+cosBsinC＝-sinBcosC
→cosB*2sinA+(sinBcosC+cosBsinC)＝0
→2sinAcosB+sin(B+C)=0
→2sinAcosB+sinA=0(因为B+C＝π-A)
→cosB=-1/2
所以B＝2π/3.
(2)
注意条件b=√13,a+c=4，由余弦定理得
13＝b^2=a^2+c^2-2ac*cos(2π/3)
→13＝(a+c)^2-2ac+ac
→13＝16-ac
→ac=3.
再解方程组a+c=4，ac=3得a＝1，或a＝3.

Answer 5

法一
sinA=sin(180-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC(和角公式)=2sinBcosC(已知)
=〉sinBcosC=cosBsinC => tanB=tanC
由B，C在0到180之间，tan单调，得到B=C

法二
由正弦定理 a/sinA=b/sinB =〉sinA=sinB*a/b
由余弦定理 cosC=（a^2+b^2-c^2）/(2ab)
代入已知式子sinA=2sinBcosC
sinB*a/b=2sinB*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
=> b^2-c^2=0 => b=c 即证