微分中值定理的题目
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1
第二问最后少打了等号，应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2
再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η
(2) 证明：
构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]
则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导
F(η)=0, F(0)=0
∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使
F'(ξ)=0
即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0
∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
设函数fx,gx在ab上连续,证明:至少存在一点§∈ab,使得f§∫gxdx=g...
如果设F(x) = ∫<0,x> f(t)dt, 则所证式可变为(1-ξ)F'(ξ) = F(ξ), 是一道比较常见的微分中值定理的题目，证明如下.设g(x) = (x-1)*∫<0,x> f(t)dt, 则g(x)在[0,1]连续, 在(0,1)可导, 并有g(0) = g(1) = 0.由罗尔中值定理, 存在ξ∈(0,1), 使g'...
微积分(中值定理)
中值定理，也称为拉格朗日中值定理，描述的是函数在闭区间上的性质。具体来说，如果一个函数在闭区间[a, b]内连续，在开区间(a, b)内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得该点的导数值等于函数在这两点间的斜率。这可以直观理解为函数图像上某点处的切线与连接起点和终点的直线平行。举个例子，...
用微分中值定理证明方程x5 +x一1=0只有一个正根?速求解
具体回答如下：令f(x)=x5+x-1 f'(x)=5x^4+1 当x∈[0,＋∞)时，f'(x)恒大于0，f(x)在[0,＋∞)单增 f(1\/2)<0 f(1)>0 所以根据介值定理知f(x)在（1\/2,1)中间只有一个正根 中值定理的应用：无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也...
高数 微分中值?
回答：这个题目存在双介值,一般需要同时使用多条中值定理。这里需要同时使用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。 这里面最难的就是使用柯西中值定理时g(x)应该怎么确定。右侧存在η²f'(η), 转换成f'(η) \/ (1\/η²), 而1\/η²正好是1\/x的导数取负号。所以这里取g(x)=1\/x...
微分中值定理问题
由拉格朗日中值定理知，存在ξ1∈(a,c)，使得f'(ξ1)=[f(c)-f(a)]\/(c-a)存在ξ2∈(c,b)，使得f'(ξ2)=[f(b)-f(c)]\/(b-c)ξ1<ξ2 因点C∈线段AB，故[f(c)-f(a)]\/(c-a)=[f(b)-f(c)]\/(b-c)=线段AB的斜率 所以f'(ξ1)=f'(ξ2)由罗尔定理，存在μ∈(...
【高数微分中值定理】
简单分析一下，详情如图所示
积分和微分中值定理,看一下这个题有没有出错?
这个题没问题，不过我没用中值定理就能做，设g(x)为f(t)的变上限积分（下限为0，上限为x）的平方的一半，则g(0)=0,g(1)=1\/2,此时只需证存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ)=ξ。若不然，因为g'(x)和x都连续，所以必须有在（0,1）上总是g'(x)>x或者g'(x)<x（不然两种情况都有，由介...
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明至少存在一点ξ属于(0,1)使得 f...
如果设F(x) = ∫<0,x> f(t)dt, 则所证式可变为(1-ξ)F'(ξ) = F(ξ), 是一道比较常见的微分中值定理的题目.由此观察, 我们给出证明如下.设g(x) = (x-1)*∫<0,x> f(t)dt, 则g(x)在[0,1]连续, 在(0,1)可导, 并有g(0) = g(1) = 0.由罗尔中值定理, 存在ξ...
大一数学分析题,关于微分中值定理,求大佬指教哇
因该函数非线性，所以存在x=c∈(a,b)f(c)≠f(a)+k(c-a)假设f(c)>f(a)+k(c-a)在(a,c)上使用拉格朗日中值定理 得到f'(η)=(f(c)-f(a))\/(c-a)>k=(f(b)-f(a))\/(b-a)|f'(η)|>|(f(b)-f(a))\/(b-a)| f(c)<f(a)+k(c-a)时亦成立。十一题不会。毕竟...
大一微积分问题,中值定理
若g(u)=0，由于g(a)=g(b)=0，根据中值定理：存在u1，a<u1<u，使得g '(u1)=(g(u)-g(a))\/(u-a)=0 存在u2，u<u2<b，使得g '(u2)=(g(b)-g(u))\/(b-u)=0 再次根据中值定理:存在v，u1<v<u2，使得g ''(v)=(g '(u2)-g '(u1))\/(u2-u1)=0，与g ''(x)>0...
