线性代数问题：为什么下图两个矩阵秩会相等？

Answer 1

前提条件是A是实矩阵
只需证明: 齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.
-- 因为同解方程组基础解系所含向量个数相同

证明: 记A'=A^T
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0
所以X1是A'AX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.

(2)设X2是A'AX=0的解, 则A'AX2=0
等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0
所以有 (Ax2)'(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A'AX=0的解是AX=0的解.

综上知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.

Answer 2

首先 r（A）=r（A^T）
r(AB)小于等于min（r（A），r（B））
这是矩阵的性质
本题中 r（A）=r（A^T）=2
所以r（A^TA）=2

追问

那也是只能说明≤，不能证明是=？

Answer 3

Note1:

设A为 mxn 实数矩阵

Ax = o ==> (A^T)Ax=o
(A^T)Ax=o ==> (x^T)(A^T)Ax=0 ==> ((Ax)^T)Ax=0, ==> |Ax|^2=0 ==> Ax=o

所以 { x | Ax=0 } = { x | (A^T)Ax = 0 }
r(A)=dim( Ax | x in R^n }
= n - dim(x| Ax=o }
= n - dim(x | (A^T)Ax=o }
= r((A^T)A)
Note2:
那个=2 是另一回事
Note3:
r(A)=r((A^T)A) 对复数矩阵不成立.