高一数学函数问题

Question

已知函数y=f（x)=（x²+3x+2a）/x ， x∈【2，正无穷）
1：当a=0.5时，求函数f（x）的最小值
2：若对任意x∈【2，正无穷），f（x）＞0恒成立，求实数a取值范围

Answer 1

解：
1.　当a=0.5时,原函数化简为y=f (x)=x+1/x+3,
判断单调性，设任意2<=x1<x2,
采用作差法，f (x1)-f (x2)=x1+1/x1+3-x2-1/x2-3
(x2-x1)(1-x1x2)
= ————————　 (1)
x1x2
其中，x2-x1>0, 1-x1x2<0, x1x2>0,
所以(1)式值为负，故f (x1)-f (x2)<0,故函数在定义域x∈【2，正无穷）是增函数。
故　f (x)恒>=f (2), 最小值为 f (2)=11/2.
2　观察函数y=f（x)=（x²+3x+2a）/x，
　f（x)恒大于0，分母x>=2,只需分子x²+3x+2a恒大于0.
　设关于x的函数k=g (x)=x²+3x+2a，
　开口向上，对称轴为x=-3/2<2,　故对称轴右侧为单调递增，x∈【2，正无穷）函数单调递增。
　　观图像有助理解，
　　则k=g (x)=x²+3x+2>0, 只需g (2)>0
g (2)=2^2+3*2+2a>0
10+2a>0
解得，a>-5.
当a>-5.时，x∈【2，正无穷），k=g (x)=x²+3x+2a恒大于0，
　　　　　y=f（x)=（x²+3x+2a）/x恒大于0。
　　完毕。

Answer 2

1 当a=0,。5是 函数是单调递增函数 最小值在x=2时取。
2 x>0 所以只要（x^2+3x+2a）>0就ok。求出2次函数最小值，令其大于0，a的范围就出来了

Answer 3

1：求导，求f(x)的一阶倒数来判断函数的单调性，或者用单调性的定义直接来求，求的的结果是f(x)在【2，正无穷）上单调递增，所以函数在x=2时取得最小值，最小值为5.5
2：因为x>0,所以要满足f（x）>0,即(x^2+3x+2a)>0,由一元二次函数的对称轴可知。当x>2时函数单调递增，所以在x=2时取最小值，最小值大于0，就可以解出a的取值范围，最终解得a>-5

Answer 4

钩钩函数学过没有？？？