椭圆方程为x^2/2+y^2=1,求过焦点F1(-1,0)的两条相互垂直的直线l1,l2,交椭圆于M,N和P,Q

Question

求四边形MNPQ的面积的最大值和最小值（另一焦点为（1,0））

Answer 1

设直线L1的斜率为 k ，容易计算当 k=0 时，SMPNQ=2 。
当 k≠0 时 ，直线L1方程为 y=k(x+1) ，
代入椭圆方程得 x^2/2+k^2(x+1)^2=1 ，
化简得 (2k^2+1)x^2+4k^2*x+(2k^2-2)=0 ，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
x1+x2= -4k^2/(2k^2+1) ，x1*x2=(2k^2-2)/(2k^2+1) ，
因此 |MN|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(k^2+1)*(x2-x1)^2
=(k^2+1)*[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=(k^2+1)*[16k^4/(2k^2+1)^2-4(2k^2-2)/(2k^2+1)]
=(k^2+1)*(8k^2+8)/(2k^2+1)^2 ，
因此 |MN|=2√2*(k^2+1)/(2k^2+1) ，
将上式中的 k 换成 -1/k ，可得 |PQ|=2√2*(k^2+1)/(2+k^2) ，
因此，S=SMPNQ=1/2*|MN|*|PQ|=4(k^2+1)^2/[(2k^2+1)(k^2+2)] ，
令 t=k^2>0 ，则 S=4(t+1)^2/[(2t+1)(t+2)]=(4t^2+8t+4)/(2t^2+5t+2)
=2-2t/(2t^2+5t+2)=2-1/(t+1/t+5/2) ，
由 t>0 得 t+1/t>=2 ，因此 S>=2-1/(2+5/2)=16/9 ，又显然 S=2-2t/(2t^2+5t+2)<2 ，
因此 16/9<=S<=2 。
就是说，所求最大值为 2 ，最小值为 16/9 。