设函数f（x）= x 2 +ax-lnx（a∈R），（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（

Question

设函数f（x）= x 2 +ax-lnx（a∈R），（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x 1 ，x 2 ∈[1，2]，恒有 m+ln2＞| f（x 1 ）-f（x 2 ）|成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），    当a=1时， ， 令f′（x）=0，得x=1，   当 时， ；当x＞1时， ；   ∴ ，无极大值。 （Ⅱ）         = ， 当 ，即a=2时， ， f（x）在（0，+∞）上是减函数；       当 ，即 时，令 得 或x＞1；     令 得 ；      当 ，即 时，令 得 或 ；       令 得 ； 综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；  当 时，f（x）在 和（1，+∞）单调递减，在 上单调递增； 当 时，f（x）在（0，1）和 单调递减，在 上单调递； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减， 当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值， ∴ ， ∴ ，而a＞0， 经整理得 ， 由3＜a＜4得 ， 所以 。