已知函数f(x)=x^2-x-alnx(a∈R) (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间

Question

已知函数f(x)=x^2-x-alnx(a∈R)
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间

(2)若函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围

Answer 1

定义域x>0
f'(x)=2x-1-a/x
(1) a=1时 f'(x)=2x-1-1/x=(2x^2-x-1)/x=(2x+1)(x-1)/x
f'(x)>0 x>1 增区间（1，+无穷）
f'(x)<0 0<x<1 减区间（0，1）
（2）f'(x)=2x-1-a/x
=(2x^2-x-a)/x
若函数f(x)有两个极值点，则函数y=2x^2-x-a在（0，+无穷）上有2个实数根
即
对称轴x=1/4>0
顶点纵坐标=-a-1/8<0 a>-1/8
x=0 y=-a>0 a<0
所以 实数a的取值范围 （0，1/8）

Answer 2

（1）a=1 f(x)=x^2-x-lnx
f'(x)=2x-1-1/x
令 f'(x)=0 得(x-1)(2x+1)=0 x=1,-1/2
∵x>0 ∴f(x)在(0,1)上单减，在(1,正无穷）上单增
（2）f'(x)=2x-1-a/x=(2x^2-x-a)/x
有两个极值点就是要2x^2-x-a在x>0上有两个根
△>0 得 a>-1/8 ; x1+x2>0 x1x2>0得a<0
综上，-1/8<a<0

Answer 3

解：(1)由题意，f(x)=x^2-x-lnx(x>0)则f'(x)=x-1-1/x=(x-1)(2x+1)/x
易知(0,1)上f'(x)<0,f(x)减,(1,+∞)上f'(x)>0,f(x)增
(2)f'(x)=x-1-a/x=(2x^2-x-a)/x,(x>0)
由题意，f'(x)=0在(0,+∞)上有两根，不妨设两根为x1>x2>0
结合二次函数得△ =1+4×2a>0
-a>0
x1×x2=-a/2>0
解得-1/8<a<0
综上-1/8<a<0